Question

6．某同学设计了如图所示的趣味实验来研究碰撞问题，用材料和长度相同的不可伸长的轻绳依次将N个大小相同、质量不等的小球悬挂于水平天花板下方，且相邻的小球静止时彼此接触但无相互作用力，小球编号从左到右依次为1、2、3、…、N，每个小球的质量为其相邻左边小球质量的k倍（k＜1）．在第N个小球右侧放置一倾角α=37°的斜面，斜面左侧靠近第N个小球处有一光滑平台，平台上放置一小球P，小球P的质量与第N个小球的质量相等，所有小球的球心等高．现将1号小球由最低点向左拉起高度h，保持绳绷紧状态由静止释放1号小球，使其与2号小球碰撞，2号小球再与3号小球碰撞…．所有碰撞均为在同一直线上的正碰且无机械能损失．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8；重力加速度为g，空气阻力、小球每次碰撞时间均可忽略不计．
（1）求1号小球与2号小球碰撞之前的速度v₁大小；
（2）求P小球离开光滑平台时的速度v_P的大小；
（3）若N=5，且发现P小球离开平台后第一次落于斜面上与P点竖直高度差为H=$\frac{64}{9}$h的Q点，求k的值．

Answer 1

分析 1、对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒求出碰前的速度
2、对于1、2号小球碰撞的过程根据动量守恒定律和机械能守恒列出等式，对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律和机械能守恒求解
3、因为5号小球与P小球质量相等，可知二者发生碰撞后交换速度，P球此后做平抛运动，根据平抛运动基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）设1号小球的质量为m₁，碰前的速度为v₁，
对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒
${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gh}$
（2）设1号、2号小球碰撞后的速度分别为v₁′和v₂，取水平向右为正方向．
对于1、2号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有
m₁v₁=m₁v'₁+m₂v₂
根据机械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}$
解得：${v}_{2}=\frac{2}{1+k}\sqrt{2gh}$
设2号、3号小球碰撞后的速度分别为v₂′和v₃，
对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有 m₂v₂=m₂v'₂+m₃v₃
根据机械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{3}{{v}_{3}}^{2}$
同理可解得：3号小球被碰后的速度 ${v}_{3}=（\frac{2}{1+k}）^{2}\sqrt{2gh}$
则第N个球与P碰撞前的速度${v}_{N}={（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$，
而小球P的质量与第N个小球的质量相等，且发生正碰，速度交换，则P小球离开光滑平台时的速度v_P=${v}_{N}={（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$
 （3）由（2）中的结果可推知5号小球被碰后的速度 ${v}_{5}={（\frac{2}{1+k}）}^{4}\sqrt{2gh}$
因为5号小球与P小球质量相等，可知二者发生碰撞后交换速度，
所以P小球第一次被碰撞后的速度 ${v}_{P}={（\frac{2}{1+k}）}^{4}\sqrt{2gh}$
P球此后做平抛运动，则有：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$\frac{H}{tan37°}={v}_{P}t$，
解得：$k=\sqrt{3}-1$
答：（1）1号小球与2号小球碰撞之前的速度v₁大小为$\sqrt{2gh}$；
（2）求P小球离开光滑平台时的速度v_P的大小为${（\frac{2}{1+k}）}^{N-1}\sqrt{2gh}$；
（3）若N=5，且发现P小球离开平台后第一次落于斜面上与P点竖直高度差为H=$\frac{64}{9}$h的Q点，k的值为$\sqrt{3}-1$．

点评 本题是利用动量守恒和机械能守恒联合解决一维碰撞问题的典型例子，其中由1号球的速度归纳第n+1号球的速度是关键，而且也是难点．