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有一匀强磁场区域,区域的上下边界MM′、NN′与水平面平行,磁场的磁感应强度为B,方向如图所示,磁场上下边界的距离为H.一矩形线圈abcd位于竖直平面内,其质量为m,电阻为R,ab边长L1,bd边长L2,且L2<H.现令线框从离磁场区域上边界MM′的距离为h处自由下落,当cd边已进入磁场,ab边还未进入磁场的某一时刻,线框的速度已到达其完全进入磁场前的最大值,线框下落过程中cd边始终与磁场边界平行.试求:
(1)线框完全进入磁场前速度的最大值;
(2)从线框开始下落到cd边刚刚到达磁场区域下边界NN′的过程中,磁场作用于线框的安培力所做的功;
(3)线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度.
分析:(1)线框进入磁场的过程中,当其重力与安培力相等时,速度达到最大;
(2)线框进入磁场的过程中分为两个过程,一是开始做加速度逐渐减小的加速运动,直到达到最大速度,二是做匀速运动,直到cd边到达磁场区域下边界NN′,然后根据功能关系列方程求解;
(3)线框受重力和安培力作用,根据牛顿第二定律列方程可以正确求解.
解答:解:(1)设速度大小为v1,此时线框的重力和线框ab边受到的安培力平衡,令此时线框中的电流强度为I1,应有
BI1L1=mg
I1=
BL1v1
R

故:v1=
mgR
B2
L
2
1

答:线框完全进入磁场前速度的最大值为:v1=
mgR
B2
L
2
1

(2)设线框达到速度v1时,cd边进入磁场的深度为h1,从下落到此时安培力对线框做功为W1.对于线框由动能定理,得:
mg(h+h1)+W=
1
2
m
v
2
1
    …①
线框从有速度v1到完全进入磁场时,线框作匀速运动,此过程中安培力对线框做功W2,由动能定理有:
mg(L2-h1)+W2=0…②
从线框完全进入磁场到cd边刚到磁场区域下边界NN'的过程中,线框中无电流,故此过程中安培力对线框所做的功为零,所以整个过程中磁场作用于线框的安培力所做的总功为
W=W1+W2…③
由①、②、③式
可得,W=
1
2
m
v
2
1
-mg(h+L2)
=
m3g2R2
2B4
L
4
1
-mg(h+L2)
…④
答:磁场作用于线框的安培力所做的功为W=
1
2
m
v
2
1
-mg(h+L2)
=
m3g2R2
2B4
L
4
1
-mg(h+L2)

(3)设线框的cd边刚刚穿出磁场区域下边界NN'时线框的速度v2,则从线框刚下落到cd边穿出磁场的整个过程中,由动能定理,可得:
mg(h+H)+W=
1
2
m
v
2
2
-0
…⑤
由④、⑤式解得:v2=
2g(H-L2)+
m2g2R2
B4
L
4
1
 …⑥
线框的cd边刚出磁场时只有ab边切割磁感线,使线框中产生感应电流,导致ab边受到向上的安培力,设此时线框的加速度为a,且设向下的方向为正方向,则由电磁感应定律及牛顿第二定律,有:mg-BL1
BL1v2
R
=ma
…⑦
由 ⑥、⑦式可解得:
a=g-
2gB4
L
4
1
(H-L2)
m2R2
+g2
<0
所以所求加速度大小a=
2gB4
L
4
1
(H-L2)
m2R2
+g2
-g
,方向竖直向上.
答:线框cd边刚穿出磁场区域下边界NN′时线框的加速度大小为a=
2gB4
L
4
1
(H-L2)
m2R2
+g2
-g
,方向竖直向上.
点评:本题是电磁感应中的力学问题,考查电磁感应、动能定理、平衡条件等知识综合应用和分析能力.
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2l
t0
2l
t0
,t=
3
4
t0时刻线框的发热功率P=
9F0l
4t0
9F0l
4t0

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边长为h的正方形金属导线框,从图所示的初始位置由静止开始下落,通过一匀强磁场区域,磁场方向垂直于线框平面,磁场区宽度等于HHh。从线框开始下落到完全穿过磁场区的整个过程中

A.线框中总是有感应电流存在

B.线框受到的磁场力的合力的方向有时向上,有时向下

C.线框运动的方向始终是向下的

D.线框速度的大小不一定总是在增加

 

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