Question

如图所示，水平轨道AB与位于竖直面内半径为R的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直．质量为m可看作质点的小滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的A点由静止开始向左运动，到达水平轨道的末端B点时撤去外力，小滑块继续沿半圆形轨道运动，且恰好能通过轨道最高点D，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到A点．已知重力加速度为g，求：
（1）滑块通过D点的速度大小．
（2）滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道压力的大小．
（3）滑块在AB段运动过程中的加速度大小．

Answer 1

分析：（1）小滑块继续沿半圆形轨道运动，且恰好能通过轨道最高点D，可知此时重力提供向心力，由牛顿第二定律列方程求解滑块通过D点的速度
（2）从B到D应用机械能守恒定律，结合第一问的结果可得B点的速度，在此位置应用牛顿第二定律列方程可得轨道对物体的弹力，应用牛顿第三定律得到物体对轨道的压力
（3）物体从D点后改做平抛运动，由平抛规律可得AB间的水平距离，应用匀变速运动规律可得滑块在AB段运动过程中的加速度大小

解答：解：（1）设滑块恰好通过最高点D的速度为v_D，根据牛顿第二定律有
mg=

mv 2 D

R

解得：vD=

gR

（2）滑块自B点到D点的过程机械能守恒，设滑块在B点的速度为v_B，则有：

1

2

mv

2 B

=

1

2

mv

2 D

+2mgR
解得：

v

2 B

=5gR
设滑块经过B点进入圆形轨道时所受的支持力为N_B，根据牛顿第二定律有
 NB-mg=

mv 2 B

R

  
  解得：N_B=6mg
由牛顿第三定律可知，滑块经过B点时对轨道的压力大小N_B′=6mg
（3）对于滑块自D点平抛到A点，设其时间为t，则有：
2R=

1

2

gt²
s_AB=v_Dt
解得：s_AB=2R
设滑块由A点到B点的过程中加速度为a，则有  

v

2 B

=2asAB
解得：a=

5g

4

答：（1）滑块通过D点的速度为

gR

（2）滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道压力的大小为6mg
（3）滑块在AB段运动过程中的加速度大小

5g

4

点评：①物体恰好通过D点是本题的突破口，这一点要注意把握；
②题目要求滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小而根据物体在B点的运动情况所求的是轨道对物体的支持力，故运动别忘记“由牛顿第三定律求解滑块在B点对轨道的压力