Question

如图所示为一个平面直角坐标系xoy。在第Ⅰ象限中，取一个与两个坐标轴相切的圆，圆心为点D，切点为A、B，图中只画出圆的四分之一。在第Ⅱ、Ⅲ象限过M点有一条垂直x轴的虚线，其左侧固定两带电平行金属板P、Q，两板间距离为d，其中心轴线与x轴重合，板右端有挡板，只在中心轴上开有小孔。在平面直角坐标系xoy的整个空间区域中（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里（图中没有画出），磁感应强度的大小为B。在平行板内x轴上的S点，有一个能沿x轴正向发射相同速度粒子的粒子源，粒子的质量为m、电荷量为q（不计粒子的重力）。当调节PQ两板间的电压为时，粒子打到挡板上距P极板为的N点，当调节PQ两板间的电压为时，粒子沿x轴从小孔M点射出。从小孔M射出的粒子，在磁场中做圆周运动时恰好经过AB段圆弧的中点C，且OM=OB（忽略电磁场间的相互影响）。求：

（1）粒子打到N点时的动能Ek

（2）圆弧ACB的半径R。

Answer 1

【试题解析】

（1）设粒子的初速度为v0，粒子从S点到N点时有： （3分）

        当PQ两板的电压为时：   （2分）   得：（1分）

                代入得：                  （2分）

（2）解法一：粒子在磁场中做圆周运动，由洛仑兹力和牛顿运动定律

有    （2分）得：     （1分）

粒子做圆周运动的圆心必在过M点并垂直于x轴的直线ME上；同时这个轨迹经过C点，所以轨迹的圆心也一定在MC的垂直平分线EF上，这样ME与EF的交点E就是轨迹的圆心，ME就是轨迹的半径r。过C点作MB的垂线与MB交于H点，则△MEF∽△CMH

有：                                           （2分）

由 ∠CDB=45°

得CH=OD-OC45°      （1分）

            MH                     （1分）

  （1分）

         MFMC

联立可得：                       （2分）

解法二：粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿运动定律有

                                  （2分）

得到：                        （1分）

粒子做圆周运动的圆心必在过M点并垂直于x轴的直线ME上；同时这个轨迹经过C点，所以轨迹的圆心也一定在MC的垂直平分线EF上，这样ME与EF的交点E就是轨迹的圆心，ME就是轨迹的半径r。过C点作MB的垂线与MB交于H点。

圆的轨迹方程为：       （3分）

        C点坐标为：                  （1分）

                                     （1分）

          代入圆的轨迹方程得：       （2分）

【参考答案】