Question

电动机通过一绳子吊起质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90m（已知此物体在被吊高接近90m时，已开始以最大速度匀速上升，g=10m/s²）求：
（1）重物上升过程中的最大速度为多少？
（2）物体由静止起用最快的方式吊高90m所需时间为多少？

Answer 1

分析：此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理，第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率，第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升，在匀加速运动过程中，加速度恒定不变．当加速度为零时，速度达最大，由功率公式可求出最大速度．

解答：解：（1）物体匀速时，速度达最大，牵引力等于重力，F=mg；
由功率公式可得：P=Fv_m
v_m=

Pm

F

=

1200

8×10

=15m/s；
（2）由牛顿第二定律可得：
a=

Fm-mg

m

=

120-80

8

=5m/s²；
末速度v_t=

Pm

Fm

=

1200

120

=10 m/s
上升的时间t₁=

vt

a

=

10

5

s=2 s
上升高度为h=

vt2

2a

=

102

2×5

=10 m
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为
v_m=

Pm

F

=

Fm

mg

=

1200

8×10

=15 m/s
由动能定理得P_mt₂-mgh₂=

1

2

mv_m²-

1

2

mv_t²
代入数据后解得t₂=5.75 s，所以t=t₁+t₂=7.75 s
所需时间至少为7.75 s
答：（1）最大速度为15m/s；
（2）所需最小时间为7.75s．

点评：本题中物体虽然为竖直向上运动，但可以适用由机车启动问题进行解决．