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3.如图所示,粗细均匀的金属环的电阻为R,可绕轴O转动的金属杆OA的电阻为$\frac{R}{4}$,杆长为l,A端与环相接触,一电阻为$\frac{R}{2}$的定值电阻分别与杆的端点O及环边缘连接.杆OA在垂直于环面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场中,以角速度ω顺时针转动.求电路中总电流的变化范围.

分析 杆OA转动中切割磁感线产生感应电流,同时明确电路结构,根据串并联电路的规律分析电阻的范围,再由闭合电路欧姆定律分析电流的变化范围.

解答 解:设OA杆转至图示位置时,金属环AD间的两部分电阻分别为R1、R2,其等效电路如图所示.
则电路中的总电流为$I=\frac{E}{R_总}=\frac{E}{{\frac{R}{2}+\frac{R}{4}+{R_并}}}=\frac{{\frac{1}{2}Bβω{l^2}}}{{\frac{3}{4}R+{R_并}}}$,式中${R_并}=\frac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1}+{R_2}}}$,因为R1+R2=R为定值,故当R1=R2时,R有最大值,最大值为$\frac{R}{4}$;
当R1=0或R2=0时,R有最小值,最小值为0,因此电流的最大值和最小值分别为${I_{min}}=\frac{{\frac{1}{2}Bω{l^2}}}{{\frac{3}{4}R+\frac{1}{4}R}}=\frac{{Bω{l^2}}}{2R}$;
${I_{max}}=\frac{{\frac{1}{2}Bω{l^2}}}{{\frac{3}{4}R+0}}$=$\frac{{2Bω{l^2}}}{3R}$.
所以$\frac{{Bω{l^2}}}{2R}≤I≤\frac{{2Bω{l^2}}}{3R}$.
答:电路中电流的变化范围为$\frac{{Bω{l^2}}}{2R}≤I≤\frac{{2Bω{l^2}}}{3R}$.

点评 本题考查导体切割磁感线与闭合电路欧姆定律的结合应用,要注意本题中明确电路结构是解题的关键,注意圆环两部分相当于并联,总电阻不变,当两边相等时总电阻最大,有一边短路时电阻最小.

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