Question

18．如图所示，倾角为37°的斜面上，轻弹簧一端固定在A点，弹簧处于自然状态时另一端位于B点，斜面上方有半径为R=1m、圆心角为143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于D处，圆弧轨道的最高点为M．现用一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）沿斜面将轻弹簧压缩40cm到C点由静止释放，物块经过B点后在BD段运动时的位移与时间关系为x=8t-4.5t²（x的单位是m，t的单位是s）．若物块经过D点后恰好能到达M点，取g=10m/s²，sin37°=0.6，求：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）BD间的距离．

Answer 1

分析 （1）对物体从B到D的过程分析，由牛顿第定律及运动学公式可求得物体与斜面间的动摩擦因数；
（2）在M点由重力充当向心力可求得M点的速度；由能量守恒求弹簧的最大弹性势能；
（3）由动能定理对DM过程分析可求得D的速度；再对BD过程由运动学公式可求得距离x．

解答 解：（1）由x=8t-4.5t²知，物块在B点的速度v₀=8m/s，从B到D过程中加速度大小 a=9m/s² ①
由牛顿第二定律得 a=$\frac{F}{m}$=$\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=gsin37°+μgcos37°  ②
得 μ=$\frac{3}{8}$  ③
（2）物块在M点的速度满足 mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$ ④
根据能量守恒定律得：
弹簧的最大弹性势能 E_p=mg[S_CDsin37°+R（1+cos37°）+μmgcos37°S_CD+$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$  ⑤
代入解得  E_p=35.6J
（3）物块从D到M过程中，有$\frac{1}{2}$mv_D²=mgR（1+cos37°）+$\frac{1}{2}$mv_M² ⑥
物块在由B到D过程中，有v_D²-v₀²=-2ax  ⑦
解得x=1m   ⑧
答：
（1）动摩擦因数为$\frac{3}{8}$；
（2）弹簧的最大弹性势能为35.6J．   
（3）BD间的距离为1m．

点评 本题考查动能定理、牛顿第二定律及竖直面内的圆周运动，解题的关键在于明确能达到E点的含义，并能正确列出动能定理及理解题目中公式的含义．