Question

3．如图，质量为M的小车静止在光滑的水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点，一质量为m的滑块在小车上从A点静止开始沿轨道滑下，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车，已知滑块质量与小车质量间的关系为2m=M，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．求：
（1）滑块运动过程中，小车的最大速度v_m．
（2）当滑块运动至C点时，小车的速度大小．
（3）滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s．

Answer 1

分析 （1）滑块到达B点时小车速度最大，小车与滑块组成的系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出小车的最大速度．
（2）滑块从A运动到C的过程中，小车与滑块组成的系统水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与能量守恒定律可以求出小车的最大速度．
（3）由牛顿第二定律求出小车的加速度，然后应用速度位移公式求出小车的位移．

解答 解：（1）滑块到达B点时，小车的速度最大，
小车与滑块组成的系统水平方向动量守恒，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv-Mv_m=0，
滑块从A到B过程，由能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$Mv_m²，
解得：v_m=$\sqrt{\frac{1}{3}gR}$；
（2）滑块到C处过程小车与滑块组成的系统水平方向动量守恒，
以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv′-Mv″=0，
由能量守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv^′2+$\frac{1}{2}$Mv^″2+μmgL，
解得：v″=$\sqrt{\frac{1}{3}gR-\frac{1}{3}μgL}$；
（3）滑块从B到C过程，小车的加速度：a=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{1}{2}$μg，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v_m²-v″²=2as，解得：s=$\frac{1}{3}$L；
答：（1）滑块运动过程中，小车的最大速度v_m为$\sqrt{\frac{1}{3}gR}$．
（2）当滑块运动至C点时，小车的速度大小为$\sqrt{\frac{1}{3}gR-\frac{1}{3}μgL}$．
（3）滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s为$\frac{1}{3}$L．

点评 该题主要考查系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，求解两物体间的相对位移，往往根据平均速度研究．也可以根据题目提供的特殊的条件：在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，不使用动量守恒定律．