Question

A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r_l，B的轨道半径为r₂．已知恒星质量为M，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r₁＜r₂．若在某时刻两行星相距最近，试求：
（1）再经过多少时间两行星距离又最近？
（2）再经过多少时间两行星距离又最远？

Answer 1

分析：（1）A、B两行星距离最近时A、B与恒星在同一条圆半径上．根据恒星对行星的万有引力提供向心力列式，得到行星角速度的表达式．根据A、B距离最近的条件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…），求出时间．
（2）A、B相距最远的条件是：ω₁t′-ω₂t'=（2k-1）π（k=1，2，3…），可求出时间．

解答：解：（1）A、B两行星距离最近时A、B与恒星在同一条圆半径上．  A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角速度大、周期短．如果经过时间t，A、B与恒星连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近．
设A、B的角速度分别为ω₁，ω₂，经过时间t，A转过的角速度为ω₁t，B转过的角度为ω₂t．A、B距离最近的条件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…）
恒星对行星的引力提供向心力，则：

GMm

r2

=mrω2，ω=

GM r13

由此得出：ω1=

GM r13

，ω2=

GM r23

，
求得：t=

2πn

GM r13 - GM r23

(n=1，2，3…)
（2）如果经过时间tˊ，A、B转过的角度相差π的奇数倍时，则A、B相距最远，
即：ω₁t′-ω₂t'=（2k-1）π（k=1，2，3…），得：t′=

(2k-1)π

ω1-ω2

把ω₁、ω₂代入得：t′=

(2k-1)π

GM r13 - GM r23

(k=1，2，3…)
答：
（1）再经过时间

2πn

GM r 3 1 - GM r 3 2

（n=1，2，3，…）时两行星距离又最近．
（2）再经过时间

(2k-1)π

GM r 3 1 - GM r 3 2

（k=1，2，3，…）时两行星距离又最远．

点评：本题根据处理卫星问题的基本思路：万有引力等于向心力的基础上，抓住圆周运动的周期性，运用数学知识求解时间．