Question

2013年12月15日“嫦娥三号”探测器成功实现“月面软着陆”．若着陆的最后阶段可简化为三个过程：①探测器从月球表面附近高为H处开始匀减速竖直下降至静止；②悬停（即处于静止状态）；③自由下落至月球表面．为了保证探测器的安全，要求探测器到达月球表面的速度不能超过v_m，月球表面附近的重力加速度为g₀，探测器在减速过程中每秒钟消耗的燃料为△m=pa+q（a为探测器匀减速下降的加速度大小，p、q为大于零的常数）．忽略探测器因消耗燃料而引起的质量变化．
（1）求探测器悬停位置距月球表面的最大高度h_m；
（2）若在（1）中悬停最大高度h_m不变的情况下，为使探测器减速下降过程中消耗的燃料质量最少，则该过程中探测器的加速度为多大，最低消耗燃料的质量m为多少．

Answer 1

（1）在自由下落到月球表面的过程中，由v_m²=2g₀h_m
解得：h_m=

v 2m

2g0

（2）探测器从高为H处匀减速下降到h_m悬停位置的过程中，由运动学公式得：
H-h_m=

1

2

at²；
又m=△m△t=（ap+q）

2(H-hm) a

=（p

a

+

q

a

）

2(H-hm)

由上式可知，当p

a

=

q

a

时
即a=

q

p

时，所消耗的燃料最少
则有：m=2

pq

×

2(H-hm)

=2

pq(H- v 2m 2g0

)
答：（1）探测器悬停位置距月球表面的最大高度h_m为

v 2m

2g0

；
（2）最低消耗燃料的质量m为2

pq(H- v 2m 2g0

)..