Question

木匠用质量为m₀的钉锤击打质量为m（m₀≥m）的钉子，把木条钉牢在竖直的木墙上．在钉人某一颗钉子时，测得第一次敲打使钉子进入的深度为L，如图所示．
（1）设钉锤打向钉子的速度大小为秒v₀，则在第一次敲打的过程中钉子与木条间的平均作用力是多大？
（2）实际上，在钉子被钉人木条的过程中，木条对钉子作用力的大小总是变化的，我们假设它们间的作用大小跟钉子进入木条的深度成正比．且每次敲打的速度都一样，则第二次敲打过程中使钉子再次进入木条的深度是多少？如果该钉子的总长度为nL（n＞2），那么欲将一颗钉子全部钉入木条，木匠需要敲打多少次？（数学备用：如果一个函数因变量y是自变量x的线性关系，即y=kx，则在任意一段x的变化范围内，y对于x的平均值都等于两个值相加除以2，即y_平均=

kx1+kx2

2

）．

Answer 1

分析：（1）在钉锤与钉子撞击过程中，因碰撞的时间短，可以认为系统的动量守恒，动量守恒解得共同的速度，然后由动能定理求得平均力；
（2）每次敲打的速度都一样，两次动能的损失相同，根据动能定理，即可求得第二次敲打过程中使钉子再次进入木条的深度和将一颗钉子全部钉入木条，木匠需要敲打的次数．

解答：解：（1）在钉锤与钉子撞击过程中，由动量守恒得m₀v₀=（m₀+m）v
由动能定理：-

.

F

L=0-

1

2

(m0+m)v2
解得：

.

F

=

m 2 0

2L(m0+m)

v

2 0

（2）由题意，第一次打击深度L₁=L，平均阻力

.

F2

=

kL+k(L+L2)

2

=

k(2L+L2)

2

，
两次动能的损失相同，有k

2L+L2

2

?L2=k

L

2

?L，
解得L2=(

2

-1)L
同理可得出第三次打击深度L3=(

3

-

2

)L
即：L1+…+LN=

N

L
由题意得：

N

L=nL
得：N=n²
故，将一颗钉子全部钉入木条，木匠需要敲打n²次．
答：（1）第一次敲打的过程中钉子与木条间的平均作用力是

.

F

=

m 2 0

2L(m0+m)

v

2 0

；
（2）第二次敲打过程中使钉子再次进入木条的深度是L2=(

2

-1)L；将一颗钉子全部钉入木条，木匠需要敲打n²次．

点评：该题将动量守恒定律、动能定理与日常生活中的钉钉子结合在一起，是一道理论联系实际的好题．该题中要抓住阻力随深度的变化关系，得出正确的结论．