Question

（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M_太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×10⁸m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶S，试计算地球的质量M_地。（G=6.67×10^-11Nm²/kg²，结果保留一位有效数字）

 

Answer 1

（1）（2）M_地=6×10²⁴kg

解析:（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有

                ①--------（3分）

于是有                 ②--------(1分)

即                  ③--------（1分）

（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得

                        ④--------（3分）

解得  M_地=6×10²⁴kg （M_地=5×10²⁴kg也算对 ） ⑤--------(2分)