Question

如图1所示，在2010上海世博会上，拉脱维亚馆的风洞飞行表演，令参观者大开眼界，最吸引眼球的就是正中心那个高为H=10m，直径D=4m的透明“垂直风洞”．风洞是人工产生和控制的气流，以模拟飞行器或物体周围气体的流动．在风力作用的正对面积不变时，风力F=0.06v²（v为风速）．在本次风洞飞行上升表演中，表演者的质量m=60kg，为提高表演的观赏性，控制风速v与表演者上升的高度h间的关系如图2所示．g=10m/s²．求：
（1）设想：表演者开始静卧于h=0处，再打开气流，请描述表演者从最低点到最高点的运动状态；
（2）表演者上升达最大速度时的高度h₁；
（3）表演者上升的最大高度h₂；
（4）为防止停电停风事故，风洞备有应急电源，若在本次表演中表演者在最大高度h₂时突然停电，为保证表演者的人身安全，则留给风洞自动接通应急电源滞后的最长时间t_m．（设接通应急电源后风洞一直以最大风速运行）

Answer 1

分析：（1）表演者开始静卧于h=0处，再打开气流，受到向上的风力和重力作用，向上做加速运动．根据图象，分析风力的变化，由牛顿第二定律确定加速度的变化．
（2）表演者在上升过程中当风力与重力平衡时，速度达到最大值．由图2得出v与h的关系式，代入风力F=0.06v²，得到F与h的关系，由平衡条件求出高度h₁．
（3）根据F与h的关系求出表演者上升过程中风力做的功，再由动能定理求出表演者上升的最大高度h₂．
（4）应急电源接通前，表演者先做自由落体运动；当应急电源接通后，做匀减速运动，恰好落到风洞底部时速度为零．根据牛顿第二定律和位移公式结合求出t_m．

解答：解：（1）表演者开始静卧于h=0处，再打开气流，受到向上的风力和重力作用，先向上做加速运动．由图知，v²（v为风速）减小，风力F=0.06v²，则风力减小，故表演者的加速度加速度减小．当风力小于重力时，表演者做减速运动，加速度增大，故先向上做加速度减小的变加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，到达最高点时速度为零．
（2）由图2可知v²=1.2×10⁴-500h
则风力 F=0.06v²=7.2×10²-30h
当表演者在上升过程中的最大速度v_m时有F=mg
代入数据得h₁=4m．
（2）对表演者，由动能定理得  W_F-mgh₂=0
因W_F与h成线性关系，风力做功WF=

F 0+Fh2

2

h2
由F=0.06v²=7.2×10²-30h得
 h=0时，F₀=7.2×10²N
 h=h₂时，F_h2=7.2×10²-30h₂，m=60kg
代入数据化解得h₂=8m  
（3）当应急电源接通后以风洞以最大风速运行时滞后时间最长，
表演者减速的加速度为a=

Fm-mg

m

=2m/s²  
表演者从最高处到落地过程有H=

1

2

g

t

2 m

+

(gtm)2

2a

代入数据化简得tm=

2 15

15

s≈0.52s．
答：（1）设想：表演者开始静卧于h=0处，再打开气流，表演者先向上做加速度减小的变加速运动，后向上做加速度增大的减速运动，到达最高点时速度为零．
（2）表演者上升达最大速度时的高度h₁是4m．
（3）表演者上升的最大高度h₂是8m．
（4）留给风洞自动接通应急电源滞后的最长时间t_m是0.52s．

点评：本题根据图象写出解析式，充分利用图象的信息是本题的关键．当力与位移成线性变化时可用力的平均值与位移乘积求变化做功．