Question

17．新发现的双子星系统“开普勒-47”有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T，其中一颗大恒星的质量为M，另一颗小恒星只有大恒星质量的三分之一，已知引力常量为G，大、小两颗恒星的转动半径之比为1：3，两颗恒星相距$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{3{π}^{2}}}$．

Answer 1

分析 这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：两颗恒星运行周期相同，根据万有引力提供向心力得：
$\frac{GM•\frac{1}{3}M}{{r}^{2}}=M\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}^{2}}=\frac{1}{3}M\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}_{2}}$
而r=r₁+r₂
解得：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\frac{1}{3}$，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{3{π}^{2}}}$
故答案为：1：3；$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{3{π}^{2}}}$

点评 双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期．