Question

3．某行星自转周期为T，赤道半径为R，研究发现，若该行星自转角速度变为原来的两倍，会导致该行星赤道上物体将恰好对行星表面没有压力，已知万有引力常量为G，则以下说法中正确的是（　　）

• A． 该行星质量为M=$\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}}}$
• B． 该行星的同步卫星轨道半径为r=$\root{3}{4}$R
• C． 静置在该行星赤道地面上质量为m的物体对地面的压力为$\frac{{16m{π^2}R}}{T^2}$
• D． 环绕该行星做匀速圆周运动的卫星线速度必不大于7.9 km/s

Answer 1

分析 由“该行星自转角速度变为原来两倍将导致该星球赤道上物体将恰好对行星表面没有压力”可知此时重力充当向心力，赤道上的物体做匀速圆周运动，据此可得该星球的质量．同步卫星的周期等于该星球的自转周期，由万有引力提供向心力的周期表达式可得同步卫星的轨道半径．行星地面物体的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，进而可知压力大小．7.9km/s是地球的第一宇宙速度．

解答 解：A、该行星自转角速度变为原来两倍，则周期将变为原来的$\frac{1}{2}$，即为$\frac{1}{2}$T，由题意可知此时：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{\frac{1}{2}T}）^{2}$，解得：$M=\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A错误；
B、同步卫星的周期等于该星球的自转周期，由万有引力提供向心力可得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，又：$M=\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，解得：r=$\root{3}{4}$R，故B正确；
C、行星地面物体的重力和支持力的合力提供向心力：$mg-{F}_{N}′=mR（\frac{2π}{\frac{1}{2}T}）^{2}$，又：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：${F}_{N}′=\frac{12m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，由牛顿第三定律可知质量为m的物体对行星赤道地面的压力为${F}_{N}=\frac{12m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故C错误；
D、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，由于不知道该星球的质量以及半径与地球质量和半径的关系，故无法得到该星球的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度的关系，故无法确环绕该行星作匀速圆周运动的卫星线速度是不是必不大于7.9km/s，故D错误．
故选：B．

点评 行星自转的时候，地面物体万有引力等于重力没错，但是不是重力全部用来提供向心力，而是重力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物体恰好对行星表面没有压力”时重力独自充当向心力．