Question

1．如图（a）所示的xOy平面处于匀强电场中，电场方向与X轴平行，电场强度E随时间t变化的周期为T，变化图线如图（b）所示，E为+E₀时电场强度的方向沿x轴正方向．有一带正电的粒子P，在某一时刻t₀以某一速度v沿Y轴正方向自坐标原点0射入电场，粒子P经过时间T到达的点记为A（A点在图中未画出）．若to=0，则OA连线与Y轴正方向夹角为45°，不计粒子重力：
（1）求粒子的比荷；
（2）若t₀=$\frac{T}{4}$，求A点的坐标；
（3）若t₀=$\frac{T}{8}$，求粒子到达A点时的速度．

Answer 1

分析 （1）由于带电粒子在x轴上受到的是方向交替变化的力，而y轴方向不受力，所以带电粒子的运动情况比较杂．y轴方向一直做匀速直线运动，而x轴上从t₀=0出发的粒子先做匀加速运动$\frac{T}{2}$，后做匀减速$\frac{T}{2}$，则经过Tv_x=0，把xy方向的分位移分别求出来，根据合位移与y轴夹角为45°，联立求得粒子的比荷．
（2）从$\frac{T}{4}$时刻出发的粒子，按同样的道理分段分别求出x、y方向上的位移，从而就能知道A点的坐标．
（3）从$\frac{T}{8}$时刻出发的粒子，在x轴方向上先经$\frac{3}{8}T$时刻匀加速，在经过$\frac{3}{8}T$时间的匀减速至零．再反方向匀加速$\frac{T}{8}$至某一值，再正方向减速至零．则粒子的速度只有y轴方向的速度了，即合速度为v．

解答 解：（1）粒子在t₀=0时刻射入电场，粒子沿y轴方向匀速运动，位移大小为：
  y=vT
  粒子沿x轴方向在0～$\frac{T}{2}$内做初速度为零的匀加速运动，位移为x₁，末速度为v₁，则：${x_1}=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
  v₁=a$\frac{T}{2}$
  粒子沿x轴方向在$\frac{T}{2}$～T内做匀减速运动，位移为x₂，则：${x_2}={v_1}（\frac{T}{2}）-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
  粒子沿x轴方向的总位移为x，则：
  x=x₁+x₂
  粒子只受到电场力作用，由牛顿第二定律得：
  qE=ma
  由题意OA与y轴正方向夹角为45°，则：y=x
  解得：$\frac{q}{m}=\frac{4v}{{{E_0}T}}$
（2）粒子在t₀=$\frac{T}{4}$时刻射入电场，粒子沿y轴方向匀速运动，位移大小为：
  y=vT
  粒子沿x轴方向在$\frac{T}{4}$～$\frac{T}{2}$内做初速度为零的匀加速运动，位移为x₃，末速度为v₂，则：${x_3}=\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}$
  v₂=a$\frac{T}{4}$
  粒子沿x轴方向在$\frac{T}{2}$～T内做匀变速运动，位移为x₄，末速度为v₃，则：${x_4}={v_2}（\frac{T}{2}）-\frac{1}{2}a{（\frac{T}{2}）^2}$
  ${v_3}={v_2}-a\frac{T}{2}$
  粒子沿x轴方向在T～$\frac{5T}{4}$内做匀变速运动，位移为x₅，则：${x_5}={v_3}（\frac{T}{4}）+\frac{1}{2}a{（\frac{T}{4}）^2}$
  粒子沿x轴的总位移为x′，则：
  x′=x₃+x₄+x₅
 解得：x’=0
  则A点的坐标为（0，vT）
（3）粒子在t₀=$\frac{T}{8}$时刻射入电场，粒子沿y轴方向匀速运动，速度不变；沿x轴方向在$\frac{T}{8}$～$\frac{T}{2}$内做初速度为零的匀加速运动，末速度为v₄，则：
  v₄=a$\frac{3T}{8}$
  粒子沿x轴方向在$\frac{T}{2}$～T内做匀变速运动，末速度为v₅，则：${v_5}={v_4}-a\frac{T}{2}$
  粒子沿x轴方向在T～$\frac{9T}{8}$内做匀变速运动，末速度为v₆，则：${v_6}={v_5}+a\frac{T}{8}$
  解得：v₆=0
  则：粒子通过A点的速度为v．
答：（1）求粒子的比荷为$\frac{4v}{{E}_{0}T}$．
（2）若t₀=$\frac{T}{4}$，A点的坐标为（0，vT）．
（3）若t₀=$\frac{T}{8}$，粒子到达A点时的速度为v．

点评 本题涉及的带电粒子在交变电场中的复杂运动，y轴方向由于不受力做匀速直线运动，而x轴方向上受力方向周期性变化的大小恒定的力，所以加速大小不变而方向变化，所以根据粒子出发的时刻，分段求出位移和末速度，最后在求出最终的末速度和位移．当然如果学习了动量定理，本题有更简单的解法．