Question

4．如图所示，两根相距L=1m，单位长度电阻为R₂=0.1Ω/m的光滑平行金属导线MN、PQ水平放置．左端用电阻可忽略不计的导线与阻值r=0.1Ω的电阻相连．MP、AB、CD、EF之间相邻间距均为L=1m，虚线AB右侧空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小随时间的变化关系为：B=（0.2+0.1t）T．导体棒开始时在外力作用下静止于CD处，导体棒电阻不计．

（1）求通过导体棒的电源大小和方向；
（2）若导体棒在外力作用下以v=2m/s的速度匀速向右运动，在t=0时刻刚好经过CD处，求此时导体棒所受到的安倍力和导体棒从CD匀速运动到EF的过程中安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）由B=（0.2+0.1t）T求出$\frac{△B}{△t}$．由法拉第电磁感应定律求出感生电动势，由欧姆定律求出感应电流，由楞次定律判断出感应电流方向．
（2）由法拉第电磁感应定律求出感生电动势，由E=BLv求出动生电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，最后由功的计算公式求安培力的功．

解答 解：（1）由B=（0.2+0.1t）T得 $\frac{△B}{△t}$=0.1T/s．
导体棒不动时，回路中产生感生感应电动势，由法拉第电磁感应定律得：
  E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$L²=0.1×1²V=0.1V
此时回路总电阻：R=r+4LR₂=0.1+4×1×0.1=0.5Ω
由闭合电路欧姆定律：I=$\frac{E}{R}$=0.2A
由楞次定律可知电流的方向为：由D到C；
（2）导体棒匀速运动时，回路中同时产生感生和动生感应电动势，
由楞次定律可知，感生和动生感应电动势方向相同．
导体棒经过CD处时，由法拉第电磁感应定律得：
总电动势 E₁=$\frac{△B}{△t}$L²+B₀Lv=0.1+0.2×1×2=0.5V
A=1A由闭合电路欧姆定律得：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$=$\frac{0.5}{0.5}$A=1A
导体棒所受的安培力：F₁=B₀I₁L=0.2×1×1N=0.2N；
根据法拉第电磁感应定律，t时刻的总电动势为：
E_t=$\frac{△B}{△t}$L（L+vt）+B_tLv
t时刻回路的总电电阻为：R_t=r+4LR₀+2vtR₀   
t时刻通过导体棒的电流为：I_t=$\frac{{E}_{t}}{{R}_{t}}$
联立解得：代入数据得：I_t=1A
即回路中电流为定值，与时间无关，由F=BIL知，导体棒所受安培力随时间均匀增大，而导体棒匀速运动，从而安培力随位移也均匀变化，则导体棒运动到CD处所受安培力为：F₂=B_CDIL  
其中：B_CD=（0.2+0.1×$\frac{L}{v}$）T=（0.2+0.1×$\frac{1}{2}$）T=0.25T
可得 F₂=0.25N
则安培力所做的功为：W=-$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$L=-$\frac{0.2+0.7}{2}×$1=-0.225J；
答：
（1）通过导体棒的电流大小0.2A，方向：由D流向C；
（2）导体棒所受的安培力为0.2N；导体棒从CD匀速运动到EF的过程中安培力做的功为-0.225J．

点评 本题是一道电磁感应与电路、力学相结合的综合题，分析清楚导体棒的运动过程是正确解题的前提与关键，应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、安培力公式、功的计算公式即可正确解题．