Question

19．一个光滑的大圆环竖直固定位置，竖直直径为MN．一段光滑铁丝折成三角形MPN．上端固定在M点，下端固定在N点，MP与MN的夹角为30°P点与圆环间空隙很小，该处折角圆滑，一个可视为质点的小球穿在铁丝上，由静止开始沿铁丝下滑，小球经过P点折角时没有能量损失，小球从M点经P点到N点，经历的时间为t₁．若让小球从M点由静止释放，沿MN到达N点，经历的时间为t₂，求t₁和t₂的比值．

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出在MP和PN段的加速度大小，结合运动学公式求出小球从M点经P点到N点的时间，根据位移时间公式求出从M到N的时间，从而得出时间之比．

解答 解：小球在MP段的加速度大小${a}_{1}=gsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}g$，根据2Rcos30°=$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{MP}}^{2}$得，${t}_{MP}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$，在PN段的加速度大小${a}_{2}=gsin30°=\frac{1}{2}g$，根据2Rsin30°=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{PN}}^{2}$得，${t}_{NP}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$，解得${t}_{1}={t}_{MP}+{t}_{NP}=4\sqrt{\frac{R}{g}}$．
在MN段，根据$2R=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$得，${t}_{2}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$，
可知t₁：t₂=2：1．
答：t₁和t₂的比值为2：1．

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的基本运用，运用牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．