Question

4．某校物理兴趣小组举行玩具赛车比赛．比赛路径如图所示，粗糙斜面轨道AB与半径R=0.32m的光滑竖直圆轨道及光滑水平轨道CE相连，圆轨道相切于B、C两点（两点间距不计），赛车从起点A静止出发，沿斜面轨道运动L后，进入竖直圆轨道（不能脱离轨道），离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到E点，并能越过壕沟．已知斜面倾斜角30°，赛车质量m=0.1kg，在粗糙斜面轨道AB段受到阻力恒为0.1N．图中壕沟两岸高度差h=1.25m，沟宽S=1.50m．（取g=10m/s²）．求：
（1）赛车越过壕沟需要的最小速度为v₁
（2）要使赛车顺利完成全部比赛，斜面AB段最小长度L．

Answer 1

分析 本题赛车的运动可以分为三个过程，由A至B的过程可以运用动能定理列式，在圆轨道上的过程机械能守恒，也可以用动能定理列式，以及平抛运动的过程；本题有两个约束条件，即要能越过壕沟，同时要能到达轨道的最高点．

解答 解：（1）设赛车越过壕沟需要的最小速度为v₁，由平抛运动的规律，有：
S=v₁t 
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
解得：
${v}_{1}=S\sqrt{\frac{R}{2h}}=3m/s$ 
（2）设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v₂，最低点的速度为v₃，
由牛顿第二定律：mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$ 
由动能定理：$-mg2R=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_3^2$
解得：
${v}_{3}=\sqrt{5gh}$=4m/s 
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是4m/s
赛车在斜面轨道AB，根据动能定理，有：$mgLsin{30^0}-fL=\frac{1}{2}mv_{min}^2-0$
可得：L=2m
答：（1）赛车越过壕沟需要的最小速度为为3m/s；
（2）要使赛车顺利完成全部比赛，斜面AB段最小长度L为2m．

点评 本题是力电综合问题，关键要将物体的运动分为三个过程，分析清楚各个过程的运动特点和受力特点，然后根据动能定理、平抛运动公式、向心力公式列式求解！