Question

9．如图（甲）所示，以O为坐标原点逮立平面直角坐标系，边界MN与O点相距L=$\frac{1}{15}$m，P₁P₂为与边界MN相距（π+3 ）m的竖直墙壁．在边界MN左侧的区域Ⅰ存在与竖直方向成37°的匀强电场E₁=O.5N/C．在边界MN右侧的区域Ⅱ有竖直向上的匀强电场E₂=0.4N/C，同时存在垂直纸面的变化磁场，磁感应强度B随时间的变化关系如图（乙） 所示．现有一质量为4×10^-7kg的带正电微粒、电量为1×10^-5C，在区域I电场中的O处无初速释放，并以某一速度由MN边界进入区域Ⅱ的场区．设此时刻记为t=0．重力加速度取g=10m/s²．sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1 ）粒子到达MN边界时的速度；
（2 ）进入区域Ⅱ场区后的$\frac{π}{2}$时刻微粒与MN的距离；
（3 ）带电微粒与墙壁碰撞的时刻和位置坐标．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律及运动学公式列式求解
（2）进入区域Ⅱ场区后的$\frac{π}{2}$时刻，因为$mg=q{E}_{2}^{\;}$，粒子做匀速直线运动，根据运动学公式求出与MN的距离
（3）画出粒子的运动轨迹，粒子在交变磁场中，无磁场时匀速直线运动，有磁场时做匀速圆周运动，根据几何关系求出带电粒子与墙壁碰撞的位置

解答 解：（1）设MN左侧匀强电场场强为${E}_{1}^{\;}$，方向与水平方向夹角为θ，带电小球受力如右图
沿水平方向有  $q{E}_{1}^{\;}cosθ=ma$
沿竖直方向有$q{E}_{1}^{\;}sinθ=mg$
对水平方向的匀加速运动有${v}_{\;}^{2}=2aL$
代入数据可解得v=1m/s
（2）由于$q{E}_{2}^{\;}=mg$，带电粒子进入右侧场区后仍垂直MN做匀速直线运动
代入数据可得$x=vt=\frac{π}{2}m$
（3）结合题意可知粒子在场中的运动轨迹如右图所示，设与墙壁碰撞的位置坐标为$（{x}_{0}^{\;}，{y}_{0}^{\;}）$则，
带电粒子在场中做匀速圆周运动：
$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得R=1m
在磁场中匀速圆周运动的周期$T=\frac{2πm}{qB}=2π$
则
${x}_{0}^{\;}=\frac{1}{15}+3+π=6.21m$
${y}_{0}^{\;}=3+\frac{π}{2}=4.57m$
因此坐标为（6.21m，4.57m）
带电粒子与墙壁碰撞的时刻$t=6×\frac{π}{2}=3πs$
答：（1 ）粒子到达MN边界时的速度1m/s；
（2 ）进入区域Ⅱ场区后的$\frac{π}{2}$时刻微粒与MN的距离$\frac{π}{2}m$
（3 ）带电微粒与墙壁碰撞的时刻3πs和位置坐标（6.21m，4.57m）．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，关键分析清楚粒子的运动规律，然后分阶段运用牛顿第二定律、向心力公式和运动学公式列式求解．