Question

如图所示，导体棒ab的质量为m、电阻不计，放置在与水平面夹角为θ的倾斜金属导轨上，导轨间距为d，电阻不计，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B，电源的电动势为E，内阻不计．设导体棒与导轨的动摩擦因数为μ，且不通电时导体棒不能静止于导轨上，要使导体棒静止在导轨上，变阻器阻值范围应为多大？（设：导体棒受到的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等）

Answer 1

分析：分析导体棒的受力情况：重力、导轨的支持力、静摩擦力和安培力．当导体棒刚要沿导轨上滑时，导体棒所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大值，安培力达到最大，电路中电流最大，电阻R最小，根据平衡条件、安培力公式和闭合电路欧姆定律求解电阻R的最小值；
当导体刚要沿导轨下滑时，导体棒所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大值，安培力达到最小，电路中电流最小，电阻R最大，再根据平衡条件、安培力公式和闭合电路欧姆定律结合求解电阻R的最大值．即可得到R的范围．

解答：解：当导体棒刚要沿导轨上滑时，导体棒所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大值，此时导体棒受力情况如图：重力mg、导轨的支持力N、静摩擦力f_m、安培力F，由平衡条件得：
Fcosθ=mgsinθ+f_m
N=Fsinθ+mgcosθ
又由题，f_m=μN，F=BI_maxL，I_max=

E

Rmin

联立得，变阻器的最小阻值为：R_min=

EBL(cosθ-μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

同理，当导体棒刚要沿导轨下滑时，导体棒所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大值，此时导体棒受力情况如图：重力mg、导轨的支持力N、静摩擦力f_m、安培力F，由平衡条件得：
mgsinθ=Fcosθ+f_m
N=Fsinθ+mgcosθ
又由题，f_m=μN，F=BI_minL，I_min=

E

Rmax

联立解得，变阻器的最大阻值为：R_max=

EBL(cosθ+μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

．
故要使导体棒静止在导轨上，变阻器阻值范围应为

EBL(cosθ-μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

≤R≤

EBL(cosθ+μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

．
答：要使导体棒静止在导轨上，变阻器阻值范围应为

EBL(cosθ-μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

≤R≤

EBL(cosθ+μsinθ)

mg(sinθ+μcosθ)

．

点评：本题是通电导体在磁场中平衡问题，分析受力时，要抓住：当导体棒刚要滑动时静摩擦力达到最大值这个临界条件．