Question

3．如图所示，一轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端放在光滑水平面上的长木板左端接触，轻弹簧处于原长，长木板的质量为M，一物块以初速度v₀从长木板的右端像左滑上长木板，在上木板向左运动的过程中，物块一直相对于木板向左滑动，物块的质量为m，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，轻弹簧的劲度系数为k，当弹簧的压缩量达到最大时，物块刚好滑到长木板的中点，且相对于木板的速度刚好为零，此时弹簧获得的最大弹性势能为E_p．（已知弹簧形变量为x，弹力做功W=$\frac{1}{2}$kx²）求：
（1）物块滑上长木板的一瞬间，长木板的加速度大小；
（2）长木板向左运动的最大速度；
（3）长木板的长度．

Answer 1

分析 （1）物块在长木板滑动时，长木板受到的合外力等于滑块对长木板的摩擦力，由牛顿第二定律求出长木板的加速度．
（2）当长木板向左运动的最大速度时，弹簧的弹力等于滑块对长木板的摩擦力，由胡克定律求弹簧的压缩量．长木板从开始运动到速度最大的过程，运用动能定理求最大速度．
（3）当弹簧的压缩量达到最大时，木板的速度为零，木块的速度也为零，根据能量守恒定律求长木板的长度．

解答 解：（1）物块滑上长木板时，长木板受到的合外力等于滑块对长木板的摩擦力，由牛顿第二定律得：
  μmg=Ma
解得，长木板的加速度 a=$\frac{μmg}{M}$
（2）当长木板向左运动的最大速度时，弹簧的弹力等于滑块对长木板的摩擦力，即
   kx=μmg
得 x=$\frac{μmg}{k}$
长木板从开始运动到速度最大的过程，设最大速度为v，由动能定理得：
  μmgx-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得  v=$\frac{μmg}{kM}$$\sqrt{kM}$
（3）当弹簧的压缩量达到最大时，木板的速度为零，木块的速度也为零，设长木板的长度为L，根据能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=μmg$•\frac{L}{2}$+E_p；
解得  L=$\frac{m{v}_{0}^{2}-{E}_{p}}{μmg}$
答：
（1）物块滑上长木板的一瞬间，长木板的加速度大小为$\frac{μmg}{M}$；
（2）长木板向左运动的最大速度为$\frac{μmg}{kM}$$\sqrt{kM}$；
（3）长木板的长度为$\frac{m{v}_{0}^{2}-{E}_{p}}{μmg}$．

点评 本题关键明确系统的运动规律，抓住弹簧的压缩量达到最大时，木板和木块的速度均为零，运用牛顿第二定律、能量守恒定律和动能定理列式研究．