Question

15．我国的“嫦娥三号”探月卫星实现了“月面软着陆”，该过程的最后阶段是着陆器离月面h高度时速度减小为零，为防止发动机将月面上的尘埃吹起，此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆，自由下落用时为t，月球半径为R，万有引力常量为G．根据以上已知量，求：
①月球表面的重力加速度g；
②月球的第一宇宙速度v；
③月球的平均密度ρ．

Answer 1

分析 ①着陆器做自由落体运动，由匀变速直线运动的位移公式可以求出重力加速度；
②卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律求出第一宇宙速度；
③万有引力等于重力，求出月球的质量，然后应用密度公式求出月球的密度．

解答 解：①着陆器做自由落体运动，位移：h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
②重力（万有引力）提供向心力，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
③万有引力等于重力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
解得：ρ=$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$；
答：①月球表面的重力加速度g为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
②月球的第一宇宙速度v为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
③月球的平均密度ρ为$\frac{3h}{2πGR{t}^{2}}$．

点评 本题是一道综合题，考查了万有引力定律的应用，应用匀变速直线运动位移公式、万有引力公式与密度公式可以解题；要注意：在忽略自转影响的情况下，星球表面的物体所受重力等于万有引力．