Question

15．如图甲所示，ABCD为一足够长的光滑绝缘斜面，EFGH范围内存在方向垂直斜面向上的匀强磁场，磁场边界EF、HG与斜面底边AB平行．一正方形金属框abcd放在斜面上，ab边平行于磁场边界．现使金属框从斜面上某处由静止释放，恰能匀速进入磁场，金属框从开始运动到cd边离开磁场的过程中，其运动的v-t图象如图乙所示．已知金属框总电阻一定，质量m=1kg，重力加速度g取10m/s²，求：

（1）斜面倾角θ；
（2）磁场区域的宽度d；
（3）cd边到达边界EF前瞬间的加速度大小a；
（4）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）线框在0-0.4s内做匀加速直线运动，根据速度时间图线得出加速度，结合牛顿第二定律求出斜面的倾角．
（2）根据线框进入磁场时做匀速直线运动，结合速度和时间求出线框的边长，结合线框匀加速直线运动的位移，求出磁场区域的宽度．
（3）根据匀速运动时，安培力和重力沿斜面方向分力相等，运用切割产生的感应电动势公式、安培力公式和牛顿第二定律求出cd边到达边界EF前瞬间的加速度大小．
（4）根据能量守恒定律求出金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热．

解答 解：（1）由图乙知，0～0.4 s，加速度  a₀=$\frac{2}{0.4}m/{s}^{2}$=5 m/s²…①
根据牛顿第二定律得：mgsinθ=ma₀…②
由①②得：sinθ=0.5，θ=30°．
（2）t₁=0.4 s～0.8 s，金属框匀速进入磁场，v₁=2 m/s，ab边到达EF时，v₂=4 m/s
框边长 L=v₁t₁=2×0.4m=0.8 m…③
t₂=0.8 s～1.2 s，位移s=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{2}=\frac{2+4}{2}×0.4m$=1.2 m…④
d=L+s=08+1.2m=2 m…⑤
（3）金属框刚进入磁场时，感应电流${I}_{1}=\frac{BL{v}_{1}}{R}$…⑥
BI₁L=mgsinθ…⑦
1.5 s时刻，cd边到达EF边界时的速度为v₃=3 m/s
${I}_{2}=\frac{BL{v}_{3}}{R}$…⑧
根据牛顿第二定律得，BI₂L-mgsinθ=ma…⑨
由⑥⑦⑧⑨得：a=$\frac{1}{2}gsinθ$=$\frac{1}{2}×10×\frac{1}{2}m/{s}^{2}$=2.5m/s²                          
（4）0.4 s～1.5 s金属框穿过磁场区域，由功能关系得：
mg（d+L）sinθ=$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$+Q…⑩
代入数据解得：Q=11.5 J．
答：（1）斜面倾角θ为30°；
（2）磁场区域的宽度为2 m；
（3）cd边到达边界EF前瞬间的加速度大小为2.5m/s²
（4）金属框穿过磁场过程中产生的焦耳热为11.5 J．

点评 本题除了考查电磁感应知识外，着重考查对速度图象的识别、理解能力，要充分挖掘图象的信息，如“面积”“斜率”等表示的意义．