Question

2．如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为$\frac{1}{4}$圆，a点为圆心，圆半径为R，ab沿水平方向的半径，若在a点以某一初速度沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点，已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求：
（1）小球的初速度；
（2）小球落在c点的速度方向与水平面间的夹角的正切值；
（3）小球的初速度不同时，小球会击中坑内的不同位置，击中坑时动能也不同，求小球的初速度多大时，小球击中坑时有最小的动能，最小的动能多大？

Answer 1

分析 （1）小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，根据分位移的公式，结合几何关系求出小球的初速度．
（2）根据速度的分解法，由数学知识求出小球落在c点的速度方向与水平面间的夹角的正切值．
（3）根据机械能守恒定律、几何知识、平抛运动的规律结合得到小球击中坑时动能与下落高度的关系式，由数学知识求解最小的动能．

解答 解：（1）小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做自由落体运动，由几何关系可知，ac连线与水平方向的夹角为30°，由平抛运动的规律有：
v₀t=Rcos30° 
$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：t=$\sqrt{\frac{R}{g}}$，v₀=$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$
（2）设小球落在c点的速度方向与水平面间的夹角为α，则有：
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{gR}}{\frac{\sqrt{3gR}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（3）设小球落在c点时水平位移大小为x，下落的高度为y．
由数学知识有：x²+y²=R²；
由机械能守恒有：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mgy+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
又 y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t
联立可得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{3}{4}$mgy+$\frac{mg{R}^{2}}{4y}$≥2$\sqrt{\frac{3}{4}mgy•\frac{mg{R}^{2}}{4y}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR
所以小球击中坑时有最小动能的条件是：$\frac{3}{4}$mgy=$\frac{mg{R}^{2}}{4y}$
即：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R
由上解得动能最小时的初速度为：v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{3}}$ 
答：（1）小球的初速度是$\frac{\sqrt{3gR}}{2}$；
（2）小球落在c点的速度方向与水平面间的夹角的正切值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
（3）小球的初速度为$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gR}{3}}$时，小球击中坑时有最小的动能，最小的动能为$\frac{\sqrt{3}}{2}$mgR．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式和几何知识灵活求解．