Question

如图所示，两块平行金属板M、N正对着放置，s₁、s₂分别为M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三点共线，它们的连线垂直M、N和光屏P，且s₂O=R．以O为圆心、R为半径的圆形区域内同时存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场和电场强度为E的匀强电场．D为收集板，板上各点到O点的距离以及D板两端点间的距离都为2R，D板两端点间的连线垂直M、N板．现有一个初速为零且质量为m、电荷量为+q的粒子，经s₁进入M、N间的电场后，通过s₂进入电磁场区域，不计重力．求：
（1）M板带何种电荷？若粒子沿直线打到光屏P上，则M、N两极间的电压U是多大？
（2）撤去圆形区域内的电场，求粒子从s₂运动到D极经历的最小时间t及此时M、N间的电压U_l的大小？

Answer 1

分析：（1）粒子在电磁场中沿直线运动，粒子所受电场力与洛伦兹力平衡，能求出粒子的速度．粒子在MN间做加速运动过程，由动能定理可以求出加速电场电压．
（2）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子从s₂到打在D上经历的时间t等于在磁场中运动时间和穿出磁场后匀速直线运动的时间之和．M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中粒子磁场偏转角度越小，运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，故当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．根据几何知识求出打在D的右端时轨迹半径，根据前面的结果求出粒子进入磁场时的速度大小，运用运动学公式求出两段时间．根据动能定理求电压U_l．

解答：解：（1）粒子带正电，要加速，则M板必须带正电荷．
粒子在电磁场中沿直线运动打到P板上，粒子所受电场力与洛伦兹力平衡，可知：qv₀B=Eq
粒子在电场中加速过程，由动能定理：qU=

1

2

m

v

2 0

解得：U=

mE2

2qB2

（2）M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在磁场中运动轨迹的半径越大，运动的时间会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．
根据几何关系：r=

3

R
由牛顿第二定律：qv₁B=

m v 2 1

r

，
解得：v₁=

3 qBR

m

所以  T=

2πr

v1

=

2πm

qB

粒子在磁场中运动时圆心角为60°，所以：t₁=

1

6

T=

πm

3qB

粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间：t₂=

R

v1

=

3 m

3qB

粒子经过s₂后打在D上t的最小值 t=t₁+t₂=

m

3qB

(π+

3

)
又 qU₁=

1

2

m

v

2 1

解得：U₁=

3qB2R2

2m

答：
（1）M板带正电荷，若粒子沿直线打到光屏P上，则M、N两极间的电压U是

mE2

2qB2

．
（2）撤去圆形区域内的电场，粒子从s₂运动到D极经历的最小时间t为

m

3qB

(π+

3

)，此时M、N间的电压U_l的大小为

3qB2R2

2m

．

点评：本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析时间的最小值，也可以运用极限分析法分析．