Question

10．某次科学研究中，宇宙飞船贴近一星球表面飞行，宇航员测出环绕星球一圈的时间为T．飞船着陆在星球赤道附近后发现该星球表面无大气，宇航员在离星球表面高h（h远小于星球半径）处静止释放一个小钢球，经t时间落到星球表面，不考虑星球自转的影响，
（1）求星球赤道附近的重力加速度g；
（2）求星球半径R的大小（注：引力常量未知）
（3）若已知引力常量为G，求该星球的质量M．

Answer 1

分析 根据h=$\frac{1}{2}$gt²得出星球表面的重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式表示出天体质量．

解答 解：（1）宇航员在离星球表面高h（h远小于星球半径）处静止释放一个小钢球，经t时间落到星球表面，
根据h=$\frac{1}{2}$gt²得出星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$…①
（2）飞船着陆前在星球表面附近绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
飞船轨道半径大小等于星球的半径大小，所以r=R，
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$…②
根据星球表面的小球所受重力等于星球对小球的吸引力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg…③
由①②③得：R=$\frac{{hT}^{2}}{{{2π}^{2}t}^{2}}$，M=$\frac{{{h}^{3}T}^{4}}{{2{Gπ}^{4}t}^{6}}$．

答：（1）求星球赤道附近的重力加速度是$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）星球半径R的大小是$\frac{{hT}^{2}}{{{2π}^{2}t}^{2}}$
（3）若已知引力常量为G，该星球的质量是$\frac{{{h}^{3}T}^{4}}{{2{Gπ}^{4}t}^{6}}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．