Question

6．利用单摆验证小球平抛运动规律，设计方案如图1所示，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断；MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点到木板的距离OO'=h（h＞L）．

（1）电热丝P必须放在悬点正下方的理由是：以保证小球速度水平（或保证小球做平抛运动）．
（2）将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O'C=s，则小球做平抛运动的初速度为v₀为$s\sqrt{\frac{g}{2（h-L）}}$．
（3）在其他条件不变的情况下，若改变释放小球时悬线与竖直方向的夹角θ，小球落点与O'点的水平距离s将随之改变，经多次实验，以s²为纵坐标，得到如图2所示图象．则当θ=30°时，s为0.52m；若悬线长L=1.0m，悬点到木板间的距离OO'为1.5m．
（4）在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录运动轨迹，小方格的边长L=1.25cm，若小球在平抛运动中的几个位置如图3中的a、b、c、d所示，则小球的初速度的计算公式为v₀=$2\sqrt{gL}$ （用L，g 表示），其值是0.7m/s．（取g=10m/s²）

Answer 1

分析 （1）只有保证小球沿水平方向抛出才能保证物体做平抛运动．
（2）根据平抛运动的规律可求得物体平抛运动的速度．
（3）根据动能定理，结合平抛运动的规律以及数学知识求出s的大小，结合图象求出h的大小．
（4）根据竖直方向上连续相等时间内的位移之差是一恒量求出相等的时间间隔，结合水平位移和时间间隔求出初速度．

解答 解：（1）由于在烧断细线前小球做圆周运动，故速度方向沿切线方向，所以只有在悬点正下方物体的速度沿水平方向，要小球做平抛运动，则小球平抛的初速度只能沿水平方向，故只有保证小球沿水平方向抛出才能保证物体做平抛运动．
（2）由于小球做平抛运动故有在水平方向有s=vt，
在竖直方向有h-L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
故有：${v}_{0}=s\sqrt{\frac{g}{2（h-L）}}$．
（3）释放小球时悬线与竖直方向的夹角θ时，小球平抛的速度v，则有mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…②
则物体在水平方向的位移s=vt…③
联立①②③可得
s²=4（h-L）L（1-cosθ）
显然当cosθ=0时，即有2=4（h-L）L（1-cosθ）
当θ=30°时，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，s²=4（h-L）L（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故有$\frac{2}{{s}^{2}}=\frac{1}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{2-\sqrt{3}}$，则s=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$=0.52m．
s²=4（h-L）L（1-cosθ）
故当l=1.0m时有：2=4（h-1）×1，
即h-1=0.5
h=1.5m．
（4）在竖直方向上，根据△y=L=gT²得，T=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，则初速度${v}_{0}=\frac{2L}{T}=2\sqrt{gL}$，代入数据解得${v}_{0}=2\sqrt{10×1.25×1{0}^{-2}}$m/s=0.7m/s．
故答案为：（1）以保证小球速度水平（或保证小球做平抛运动），（2）$s\sqrt{\frac{g}{2（h-L）}}$，（3）0.52，1.5．
（4）$2\sqrt{gL}$，0.7m/s

点评 解决本题的关键知道实验的原理以及注意事项，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式和推论灵活求解．