Question

如图所示，在倾角θ=30°、足够长的斜面上分别固定着两个物体A．B，相距L=0.2m，它们的质量m_A=m_B=2kg，与斜面间的动摩擦因数分别为μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0时刻同时撤去固定两物体的外力后，在然后的运动中，A与B物体发生连续碰撞（碰撞时间极短，忽略不计），每次碰后两物体都相互交换速度．g取10m/s²．问：
（1）A与B第一次碰前的瞬时A、B的速率分别是多大
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历多长时间？
（3）从开始撤去固定两物体的外力至第n次碰撞时A、B两物体各自克服摩擦阻力做的功分别是多少？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律结合运动学公式求出A、B碰前瞬间的速率．
（2）两物体碰后，交换速度，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线运动，结合运动学公式求出追及的时间，再求出开始A与B碰前所需的时间，从而得出从A开始运动到两物体第二次相碰经历的时间．
（3）结合运动学公式得出A、B物体速度的变化规律，分别求出A、B的位移，从而求出从开始撤去固定两物体的外力至第n次碰撞时A、B两物体各自克服摩擦阻力做的功．

解答：解：（1）A物体沿斜面下滑时有m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A
∴a_A=gsinθ-μ_Am_AgcosθaA=gsin300-

3

6

gcos300=2.5m/s²　　　　　                
B物体沿斜面下滑时有m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B
∴a_B=gsinθ-μ_Bm_Bgcosθ
aB=gsin300-

3

3

gcos300=0
分析可知，撤去固定A、B的外力后，物体B恰好静止于斜面上，物体A将沿斜面向下做匀加速直线运动．                                    
A与B第一次碰撞前的速度vA1=

2aL

=

2×2.5×0.2

=1m/s，B的速率为零                  
（2）从AB开始运动到第一次碰撞用时t1=

2L a

=

2×0.2 2.5

=0.4s
两物体相碰后，A物体的速度变为零，以后再做匀加速运动，而B物体将以v_B2=v'_B1=1m/s的速度沿斜面向下做匀速直线运动．                
设再经t₂时间相碰，则有v′B1t2=

1

2

a

t

2 2

解之可得t₂=0.8s               　　　　　　　                 
故从A开始运动到两物体第二次相碰，共经历时间
t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s                                             
（3）从第2次碰撞开始，每次A物体运动到与B物体碰撞时，速度增加量均为△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交换，因而碰后B物体的速度为：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s…
第n次碰后：v_Bn=nm/s
每段时间内，B物体都做匀速直线运动，则第n次碰前所运动的距离为
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物体比B物体多运动L长度，则
s_A=L+s_B=[0.2+

2n(n-1)

5

]m　　　　                             
则w_A=μ_Am_Agcosθs_A=1+2n（n-1）J　                        
w_B=μ_Bm_Bgcosθs_B=4n（n-1）J      
答：（1）A与B第一次碰前的瞬时A、B的速率分别是1m/s，0m/s．
（2）从A开始运动到两物体第二次相碰经历1.2s．
（3）从开始撤去固定两物体的外力至第n次碰撞时A、B两物体各自克服摩擦阻力做的功分别是1+2n（n-1）J、4n（n-1）J．

点评：本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，关键需理清运动过程，知道A、B的运动情况，结合运动学公式进行求解．