Question

（2010?福州模拟）在半径R=5000km 的某星球表面，宇航员做了如下实验．实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg 的小球从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示．求：

（1）圆轨道的半径．
（2）该星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小球对轨道C点的压力与H的关系式，然后结合F-H图线求出圆轨道的半径和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力，求出该星球的第一宇宙速度．

解答：解：
（1）设该星球表面的重力加速度为g₀，圆轨道的半径为r．当H=0.5 m时，小球恰能通过C点，此时F=0
由机械能守恒得：
Mg₀（H-2r）=

1

2

mv₀²　          ①
由圆周运动可得：
mg₀=

m v 2 0

r

                     ②
由以上各式解得：
r=

2

5

H=0.2 m                    ③
（2）当H＞0.5 m时，
mg₀（H-2r）=

1

2

mv² ④
mg₀+F=

mv2

r

                    ⑤
即F=g₀（2H-1）⑥
由F-H图象可得：g₀=5 m/s²      ⑦
根据万有引力定律和向心力公式有  

GMm

R2

=m

v2

R

                    ⑧

GMm

R2

=mg₀                     ⑨
由⑦⑧⑨得该星球的第一宇宙速度：
v=

g0R

=

5×5×106

m/s=5000m/s=5km/s．    
答：
（1）圆轨道的半径0.2m．
（2）该星球的第一宇宙速度5km/s．

点评：本题是牛顿运动定律与机械能守恒定律的综合题，解决本题的关键根据该规律得出压力F与H的关系式．