Question

14．如图，半径R=0.8m的光滑圆弧轨道固定在水平地面上，O为该圆弧的圆心，轨道上方的A处有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块，小物块由静止开始下落后恰好沿切线进入圆弧轨道．此后小物块将沿圆弧轨道下滑，已知AO连线与水平方向的夹角θ=45°，在轨道末端C点紧靠一质量M=3kg的长木板，木板上表面与圆弧轨道末端的切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s²．求：
（1）小物块刚到达C点时的速度大小；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为多少
（4）整个过程产生的热量是多少？

Answer 1

分析 （1）小物块从A处运动到C点的过程中，只有重力做功，机械能守恒．根据机械能守恒，得出小物块滑到C点时的速度大小v_C．
（2）在C点小物块受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力，根据${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，计算出小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时轨道对小物块的支持力的大小，再根据牛顿第三定律，得出小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力．
（3）小物块滑上长木板，与长木板发生相对滑动的过程中，先对系统研究，运用动量守恒定律mv_C=（M+m）v，求出小物块和长木板的共同速度v；再对小物块研究，运用动能定理$-f{x}_{m}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，求出小物块在该过程中相对于地面所发生的位移x_m；再对长木板，运用动能定理$f{x}_{M}=\frac{1}{2}M{v}^{2}$，求出长木板在该过程中相对于地面所发生的位移x_M；则要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为x_m-x_M．
（4）对全过程由功能关系进行分析，则可明确增加的内能值．

解答 解：（1）小物块从A到C，机械能守恒，设在C点的速度为v_C
因为$mg×2R+0=0+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
所以${v}_{C}=\sqrt{4gR}=\sqrt{4×10×0.8}m/s=4\sqrt{2}m/s$
故小物块刚到达C点时的速度大小为$4\sqrt{2}m/s$
（2）对小物块，在C点受到重力和轨道对它的竖直向上的支持力．由牛顿第二定律得：
${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
则${F}_{N}=m\frac{{v}_{{C}^{2}}}{R}+mg$
=$1×\frac{（4\sqrt{2}）^{2}}{0.8}+1×10N$=50N
由牛顿第三定律得：小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．
故小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力的大小为50N，方向竖直向下．
（3）设小物块刚滑到木板右端时达到共同速度，大小为v
对系统，由动量守恒定律得：
mv_c=（M+m）v
则$v=\frac{m{v}_{C}}{M+m}$=$\frac{1×4\sqrt{2}}{3+1}m/s$=$\sqrt{2}m/s$
对小物块，与长木板发生相对滑动的过程中，由动能定理得：
$-μmg{x}_{m}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
带入数据解得：小物块在该过程中相对于地面所发生的位移 x_m=5m
对长木板，与小物块发生相对滑动的过程中，由动能定理得：
$μmg{x}_{M}=\frac{1}{2}M{v}^{2}$
带入数据解得：长木板在该过程中相对于地面所发生的位移x_M=1m
长木板的长度至少为L=x_m-x_M=5m-1m=4m
（4）对全过程由功能关系可知：
Q=mg2R-$\frac{1}{2}$（M+m）v²=10×1.6-$\frac{1}{2}$×（1+3）×2=12J；
答：（1）小物块刚到达C点时的速度大小为4$\sqrt{2}$m/s；
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端C点时对轨道的压力为50N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板长度L至少为4m；
（4）整个过程产生的热量是12J

点评 该题是一道综合题，综合运用了机械能守恒定律、动能定理、动量守恒及牛顿第二定律等；题目过程较为复杂，并涉及多个物体，故在解答本题时要注意正确选择研究对象，做好受力分析，并能正确且熟练运用相应的物理规律．