Question

如图所示，B的质量为2m，半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面．A是质量为m的细长直杆，被固定的光滑套杆D约束在竖直方向上，A可以自由上下运动，物块C的质量是m，紧靠半球形碗放置．初始时A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触．然后从静止开始释放A，则A、B、C便开始运动．求
（1）当长直杆A的下端运动到碗的最低点时，长直杆A的速度和B、C的速度？
（2）当长直杆A的下端运动到距半球形碗的最低点处，长直杆A的速度和B、C的速度？

Answer 1

【答案】分析：（1）长直杆的下端运动到碗内的最低点时v_B=v_C，由系统的机械能守恒即可求解；
（2）此题长直杆可没有越过最低点，也可能越过了最低点，分两种情况讨论．A滑到最低点前，对B始终存在弹力，有向右的水平分量，根据系统的机械能守恒和A、B速度关系列式求解；当长直杆越过最低点后，B和C分离，再由机械能守恒列式求解．
解答：解：（1）长直杆的下端运动到碗的最低点时，长直杆在竖直方向的速度为0，而B、C沿水平方向运动，设速度为v_B=v_C=v．由机械能守恒定律得
   mgR=?3mv²
解得，v_B=v_C=v=
（2）A滑到最低点前，对B始终存在弹力，有向右的水平分量，故在此之前，BC共同加速不分离．
   设A沿竖直方向运动，速度为v_A，B、C沿水平方向运动，速度为v_B=v_C，且A杆的位置用θ表示，θ为碗面的球 心O至A杆下端与球面接触点的连线方向与竖直方向的夹角．
v_A，v_B的速度矢量图如图中平行四边形所示，由图得
   v_B=v_Acotθ
由机械能守恒得 mgR=++
解得 v_A=，v_B=v_C=
当滑到处时，θ=60°，则得v_A=，v_B=v_C=
   当长直杆越过最低点后，B和C分离，长直杆的下端上升到所能达到的最高点时，长直杆在竖直方向上的速度为零．
  则有 =mgh，h=R
则到处A和B机械能守恒，则得
  =mg++
又v_B′=v_A′cotθ
解得 v_A′=，v_B′=，v_C′=
答：
（1）当长直杆A的下端运动到碗的最低点时，长直杆A的速度，B、C的速度均为．
（2）当长直杆A的下端运动到距半球形碗的最低点处，当长直杆越过最低点前时，长直杆A、B、C的速度分别为，，；当长直杆越过最低点后，分别为，，．
点评：此题主要考查了机械能守恒定律的直接应用，要知道长直杆的下端第一次运动到碗内的最低点时，A的水平方向速度为零，长直杆的下端上升到的最高点时直杆竖直方向速度为零，难度较大．