Question

11．如图所示的绝缘细杆轨道固定在竖直面内，其中，轨道半径为R的$\frac{1}{6}$光滑圆弧段杆与水平段杆和粗糙倾斜段杆分别在A、B两点相切，圆弧杆的圆心O处固定着一个带正电的电荷．现有一质量为m、可视为质点的带负电小球穿在水平杆上，以方向水平向右、大小等于$\sqrt{\frac{8}{3}gR}$的速度通过A点，小球能够上滑的最高点为C，到达C后，小球将沿杆返回．若∠COB=30°，小球第一次过A点后瞬间对圆弧细杆向下的弹力大小为$\frac{8}{3}$mg，从A至C小球克服库仑力做的功为$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$mgR，重力加速度为g．求：
（1）小球第一次到达B点时的动能是多少？
（2）小球在C点受到的库仑力大小是多大？
（3）小球返回A点前瞬间，对圆弧杆的弹力是多大？（结果用m、g、R表示）

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出小球第一次到达B点时的动能．
（2）小球第一次过A点后瞬间，由牛顿第二定律和库仑定律列式．由几何关系得到OC间的距离，再由库仑定律求小球在C点受到的库仑力大小．
（3）再由动能定理求出小球返回A点前瞬间的速度，由牛顿运动定律和向心力公式求解小球返回A点前瞬间对圆弧杆的弹力．

解答 解：（1）小球从A运动到B，由动能定理得：
-mgR（1-cos60°）=E_kB-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
又 v_A=$\sqrt{\frac{8}{3}gR}$
解得小球第一次到达B点时的动能  E_kB=$\frac{5}{6}$mgR
（2）小球第一次过A点后瞬间，由牛顿第二定律得：
  N+k$\frac{Qq}{{R}^{2}}$-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
据题：N=$\frac{8}{3}$mg
联立得 k$\frac{Qq}{{R}^{2}}$=mg ①
由几何关系得：OC间的距离 r=$\frac{R}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$R
小球在C点受到的库仑力大小 F=k$\frac{Qq}{{r}^{2}}$=k$\frac{Qq}{（\frac{2\sqrt{3}}{3}R）^{2}}$ ②
由①②联立解得 F=$\frac{3}{4}$mg
（3）从A到C，由动能定理得：
-W_电-mgR-W_f=0-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
从C到A，由动能定理得：
  W_电+mgR-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{′2}$
据题有：W_电=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$mgR
小球返回A点前瞬间，设细杆对球的弹力方向向上，大小为N′，由牛顿第二定律得
  N′+k$\frac{Qq}{{R}^{2}}$-mg=m$\frac{{v}_{A}^{′2}}{R}$
联立以上三式解得 N′=$\frac{2（8-3\sqrt{3}）}{3}$mg
由牛顿第三定律得，小球返回A点前瞬间，对圆弧杆的弹力大小为$\frac{2（8-3\sqrt{3}）}{3}$mg，方向向下．
答：
（1）小球第一次到达B点时的动能是$\frac{5}{6}$mgR；
（2）小球在C点受到的库仑力大小是$\frac{3}{4}$mg；
（3）小球返回A点前瞬间，对圆弧杆的弹力是$\frac{2（8-3\sqrt{3}）}{3}$mg，方向向下．

点评 本题的关键分析清楚小球的运动情况，确定圆周运动向心力的来源，多次运用动能定理和牛顿运动定律列式研究．