Question

4．据报道，一儿童玩耍时不慎从20m的阳台上由静止掉下，在他刚下落时恰被楼下一管理人员发现，该管理员迅速由静止起动冲向儿童落地点，准备接住儿童（不计管理人员的反应时间）．为确保安全稳妥的接住儿童，管理人员将尽力节约时间，但又必须到达儿童落地点时速度为零，将儿童和管理人员都看做质点，设管理人员奔跑过程中只做匀速运动或匀变速运动，已知管理人员初位置到儿童落地点距离为8m，g取10m/s²．不计空气阻力，管理人员接住儿童时离地的高度不计，求：
（1）管理人员从初位置跑到儿童落地点的平均速度至少多大？
（2）若管理人员在加速或减速过程中的加速度大小相等，且最大速度不超过7m/s，求管理人员奔跑时加速度的最小值是多大（保留两位有效数字）？

Answer 1

分析 （1）儿童掉下做自由落体运动，可以通过自由落体的位移公式求出时间，根据时间再求管理员的最小平均速度．
（2）管理员先加速到速度最大，再匀速，再减速到0，抓住三段时间和等于自由落体的时间，三段位移和等于管理员到楼底的距离，求出最小加速度．

解答 解：（1）儿童下落的时间为t
$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$   
解得：t=2s
他要能接住儿童，奔跑的时间要小于2s
由x=vt，v=4m/s
故管理员的平均速度至少为4m/s．
（2）假设管理人员先匀加速接着匀减速奔跑到楼底，奔跑过程中的最大速度为v₀，由运动学公式得：$\overline{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}+0}{2}$，
得：${v}_{0}=2\overline{v}=8＞7m/s$，所以先加速，再匀速，最后匀减速奔跑到楼底．
设匀加速、匀速、匀减速过程的时间分别为名；t₁、t₂、t₃，位移分别为s₁、s₂、s₃，
由运动学公式得，${s}_{1}=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$…④，
${s}_{3}=\frac{1}{2}{at}_{3}^{2}$…⑤，
s₂=v_maxt₂…⑥，
v_max=at₁=at₃…⑦，
t₁+t₂+t₃≤t₀…⑧，
s₁+s₂+s₃=s…⑨
由④～⑨联立并代入数据得：a≥8.2m/s²．
故加速度应满足a≥8.2m/s²．
答：（1）管理人员至少要4m/s的平均速度跑到楼底．
（2）若管理人员在加速或减速过程中的加速度大小相等，且最大速度不超过9m/s，则管理人员奔跑时加速度需满足a≥8.2m/s²

点评 解决本题的关键抓住小孩自由下落的时间和管理员运动的时间相等，灵活运用运动学公式求解