Question

如图所示，电阻忽略不计的两根两平行光滑金属导轨竖直放置，其上端接一阻值为3Ω的电阻R．在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场B，磁场区域的高度为d=0.5m．导体棒a的质量m_a=0.2kg、电阻R_a=3Ω；导体棒b的质量m_b=0.1kg、电阻R_b=6Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始沿导轨向下滑动，且都能匀速穿过磁场区域，当b 刚穿出磁场时a正好进入磁场．（不计a、b之间的作用）求：
（1）在整个过程中，a棒和b棒分别克服安培力做了多少功？
（2）在b穿过磁场区域过程中，电阻R产生的电热；
（3）M点和N点距L₁的高度分别为多少？

Answer 1

分析：（1）棒匀速通过磁场，克服安培力所做的功等于重力做功．
（2）、（3）由法拉弟电磁感应定律、欧姆定律、力平衡等推导两棒在磁场中运动的速度，结合运动学公式，求出时间和高度．

解答：解：（1）因为两金属棒都是匀速穿过磁场的，所以安培力与重力等大，克服安培力做功分别为：W_a=m_agd=0.2×10×0.5J=1J
    W_b=m_bgd=0.1×10×0.5J=0.5J
（2）设b切割磁感线时，其上电流为I，则电阻R和a棒上电流均为

1

2

I，根据焦耳定律：Q=I²Rt得：
  Qb：Qa：QR=I2Rbt：(I/2)2Rat：(I/2)2Rt=8：1：1
由（1）知b棒穿过磁场过程产生的总电热为Q=0.5J
所以：QR=

1

8+1+1

Q=0.05J
（3）b在磁场中匀速运动时：速度为υ_b，总电阻R₁=7.5Ω．
b中的电流Ib=

BLυb

R1

①
由以上各式得：

B2L2υb

R1

=mbg②
a在磁场中匀速运动时：速度为v_a，总电阻R₂=5Ω．
对a棒同理有：

B2L2υa

R2

=mag③
由②③式得，

υb

υa

=

3

4

④
又：υ_a=υ_b+gt⑤d=υ_bt⑥
由④⑤⑥得：

v

2 a

=

16gd

3

，

v

2 b

=3gd
所以：ha=

v 2 a

2g

=

8

3

d=

8

3

×0.5m≈1.33m
hb=

v 2 b

2g

=1.5d=1.5×0.5m=0.75m
答：（1）在整个过程中，a棒和b棒分别克服安培力做功1J和0.5J．
（2）在b穿过磁场区域过程中，电阻R产生的电热是0.05J；
（3）M点和N点距L₁的高度分别为1.33J和0.75J．

点评：本题电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题往往要分析和计算安培力的大小．本题的关键是寻找两棒之间的关系式υ_a=υ_b+gt．