Question

如图所示，在水平面OB上有一A点，已知OA=L．现在从A点以初速度v₀射出一小球，在不被倾角为α（α＜45°）的OC面板弹回的前提下，问：
（1）若小球射出时的角度θ=45°，为使得小球能射到最远，小球射出时的初速度v₀应为多大？
（2）若小球射出时的初速度v₀已知，且大于第（1）小题中所得的结果，为使小球能射到最远，小球射出时的角度θ应为多大？

Answer 1

分析：（1）小球做斜抛运动，轨迹为抛物线，要使小球能射到最远，小球轨迹与直线OC相切，故将抛物线方程与直线方程联立方程组后，方程组只有一个解，据此求初速度的值．
（2）与上问同理，整理可得小球射出时的角度θ

解答：解：（1）以A点为坐标原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，小球做斜抛运动，坐标为：
x=v₀tcosθ，y=v₀tsinθ-

1

2

gt²，
代入得：y=xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

，
OC线方程：y=（x+L）tanα，
联立可得：xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

=（x+L）tanα，
取θ=45°，得：

gx2

v 2 0

+（tanα-1）x+Ltanα=0，
为使小球以45°抛出能实现射程最远而不被OC面板弹回，小球抛射轨迹应与斜面OC相切，即方程只有一个解，
即：△=（tanα-1）²-

4gL

v 2 0

tanα=0，
解得：v₀=

4gLtanα (tanα-1)2

，
（2）当v₀＞

4gLtanα (tanα-1)2

时，以A点为坐标原点，AB方向为x轴正方向建立坐标系，小球做斜抛运动，坐标为：x=v₀tcosθ，y=v₀tsinθ-

1

2

gt²，
代入得：y=xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

，
OC线方程：y=（x+L）tanα，
联立可得：xtanθ-

gx2

2v 2 0 cos2θ

=（x+L）tanα，
为使小球以θ角抛出能实现射程最远而不被OC面弹回，必有θ＞α，小球抛射轨迹应与斜面OC相切，可得判别式：△=（tanα-tanθ）²-

4gL

v 2 0 cos2θ

tanα=0，
即sin²（α-θ）-

gL

v 2 0

sin2α=0，
因为θ＞α，所以θ=α+sin^-1

gLsin2α

v0

．
答：（1）小球射出时的初速度v₀应为

4gLtanα (tanα-1)2

，
（2）小球射出时的角度θ应为α+sin^-1

gLsin2α

v0

．

点评：关键是：能够挖掘出“不被倾角为α（α＜45°）的OC面板弹回”的隐含信息为小球抛射轨迹应与斜面OC相切；能进行三角函数变换