Question

19．如图所示，半径均为R，质量均为M，内表面光滑的两个完全相同的$\frac{1}{4}$圆槽A、B并排放在光滑的水平面上，图中a、c分别为A、B槽的最高点，b、b′分别为A、B槽的最低点，A槽的左端紧靠着墙壁，一个质量为m的小球C从圆槽的顶端的a点无初速度释放，求：
（1）小球C从a点运动到b点时的速度及A槽对地面的压力．
（2）小球C在B槽内运动所能到达最大高度．
（3）B的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）C下滑过程机械能守恒，应用机械能守恒定律可以求出到达b点的速度，由牛顿第二定律求出槽对C的支持力，然后求出槽对地面的压力．
（2）B、C组成的系统在水平方向动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出C能达到的最大高度．
（3）当B、C分离时，B的速度最大，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出B的最大速度．

解答 解：（1）C下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{2gR}$，
在b点，由牛顿第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：F=3mg，由牛顿第三定律可知，C对A的压力：F′=F=3mg，
A静止，处于平衡状态，由平衡条件可知，A槽对地面的压力：N=F′+Mg=3mg+Mg；
（2）B、C组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，
由动量守恒定律得：mv=（M+m）v′，
由机械能守恒定律的：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$（M+m）v′²+mgh，
解得：h=$\frac{MR}{M+m}$；
（3）B、C组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，
B、C分离时，由动量守恒定律得：mv=-mv″+MV，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv″²+$\frac{1}{2}$MV²，
解得：V=$\frac{Mm\sqrt{2gR}+\sqrt{mgR（{m}^{3}-{M}^{3}+M{m}^{2}）}}{m（M-m）}$；
答：（1）小球C从a点运动到b点时的速度为$\sqrt{2gR}$，A槽对地面的压力为3mg+Mg．
（2）小球C在B槽内运动所能到达最大高度为$\frac{MR}{M+m}$．
（3）B的最大速度是$\frac{Mm\sqrt{2gR}+\sqrt{mgR（{m}^{3}-{M}^{3}+M{m}^{2}）}}{m（M-m）}$．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用动量守恒定律与 机械能守恒定律即可解题，要注意：B、C组成的系统整体动量不守恒，但水平方向动量守恒．