Question

2．人们常常把原子核和它周围的电子比做太阳系或地球和人造卫星．以地球和人造卫星为例，假如我们发射一颗卫星，使它在一定的圆轨道上运动，如果需要可以使这些卫星的能量稍大一些，或者在半径更大一些的轨道上运动．只要技术条件达到，轨道半径可以按照需要任意取值．在这种情况下，我们说，轨道半径是连续的．
并非把这个图景缩小就可以看做原子核和它周围电子的运动．在波尔模型中，以氢原子为例，原子中的电子在库仑力的作用下，绕原子核做圆周运动，电子的轨道半径只能取某些分立的数值，必须满足mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…，其中m、v_n、r_n、h分别为电子的质量、电子绕核运动的速度、电子绕核运动的轨道半径、普朗克常数，近似认为原子核静止．当电子在不同的轨道上运动时，原子处于不同的稳定状态，在这些稳定状态中，原子的能量是不同的．所谓原子的能量是指电子的动能和体系的势能之和，取无穷远处为零势能面，体系在轨道半径r_n上具有的势能为-k$\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$，k为静电力常数．这些量子化的能量值叫做能级．
（1）根据以上信息和所学知识，求解：
①氢原子的第n（n=1，2，3…）轨道半径r_n的表达式；
②氢原子的第n（n=1，2，3…）能级E_n的表达式；
（2）根据题意和（1）的结论求解：
①电子从n+1轨道跃迁到n轨道放出的光子的频率v_n的表达式；
②由以上表达式证明：当n→∞时该频率等于电子在第n轨道上绕核运动的频率．

Answer 1

分析 （1）根据库仑引力提供向心力得出电子的动能，结合玻尔的量子化条件求出轨道半径r_n的表达式；结合氢原子的能级能量等于动能和势能之和求出E_n的表达式；
（2）根据能级跃迁时，辐射的光子能量等于两能级间的能级差，结合能量的表达式求出光子的频率的表达式；
通过频率等于周期的倒数，结合圆周运动的知识，根据数学极限思维得出频率的表达式，从而进行证明．

解答 解：（1）①对于氢原子，库仑力提供电子绕核运动的向心力，根据牛顿运动定律得
$k\frac{{e}^{2}}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
根据玻尔的量子化条件
mv_nr_n=n$\frac{h}{2π}$，n=1，2，3…，
联立以上两式解得${v}_{n}=\frac{2πk{e}^{2}}{nh}$，${r}_{n}=\frac{m{h}^{2}}{4{π}^{2}{m}^{2}k{e}^{2}}{n}^{2}$，n=1，2，3…
②选取无穷远处为零势能面，则得
${E}_{n}=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-k\frac{{e}^{2}}{{r}_{n}}$，
将v_n、r_n的表达式代入，整理得
${E}_{n}=-\frac{2{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{n}^{2}{h}^{2}}$，n=1，2，3…
（2）①根据玻尔理论，当原子从较高能量状态E_n+1向较低能量状态E_n跃迁时，发射一个光子，其频率为
hγ_n=E_n+1-E_n，
所以${γ}_{n}=\frac{{E}_{n+1}-{E}_{n}}{h}$，
将E_n+1、E_n的表达式代入，整理得${γ}_{n}=\frac{2{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}（2n+1）}{{h}^{3}{n}^{2}（n+1）^{2}}$．
②根据以上表达式，当n→∞时，2n+1→2n，n+1→n，γ_n的表达式为
${γ}_{n}=\frac{4{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{3}{n}^{3}}$
电子在第n轨道上的转动频率为
${f}_{n}=\frac{1}{{T}_{n}}=\frac{1}{\frac{2π{r}_{n}}{{v}_{n}}}=\frac{{v}_{n}}{2π{r}_{n}}$，
将r_n的表达式代入，整理得
${f}_{n}=\frac{4{π}^{2}{k}^{2}m{e}^{4}}{{h}^{3}}•\frac{1}{{n}^{3}}={γ}_{n}$．
答：（1）①氢原子的第n（n=1，2，3…）轨道半径r_n的表达式为${r}_{n}=\frac{m{h}^{2}}{4{π}^{2}{m}^{2}k{e}^{2}}{n}^{2}$，n=1，2，3…；
②氢原子的第n（n=1，2，3…）能级E_n的表达式为${E}_{n}=-\frac{2{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{n}^{2}{h}^{2}}$，n=1，2，3…．
（2）①电子从n+1轨道跃迁到n轨道放出的光子的频率γ_n的表达式为${γ}_{n}=\frac{4{π}^{2}m{k}^{2}{e}^{4}}{{h}^{3}{n}^{3}}$，n=1，2，3…；
②证明如上所示．

点评 解决本题的关键能够正确地建立物理模型，选择合适的规律进行求解，知道原子的能量等于电子的动能和原子势能之和，知道能级跃迁时，辐射的光子能量等于两能级间的能级差．