Question

有一行星密度为地球密度的一半，表面重力加速度为地球的2倍，则该行星质量为地球的

32

倍，若地球同步卫星的高度为地球半径的6倍，该行星的同步卫星的高度为其半径的2.5倍，则该行星的自转周期为

12

小时．

Answer 1

分析：由万有引力等于重力可得质量表达式，再由质量等于密度乘以体积，联合可得行星与地球质量关系．
由同步卫星轨道半径可得卫星周期，同步卫星周期等于星球自转周期．

解答：解：
由万有引力等于重力可得：
G

Mm

R2

=mg
解得：
M=

gR2

G

①
质量还可以表达为：
M=ρV=

ρ4πR3

3

②
由①②解得：
M=

9g3

16G3π2ρ2

设行星质量为M₁，地球质量为M₂，故该行星与地球质量的比值为：

M1

M2

=

(g1)3

ρ12

：

(g2)3

ρ22

=

8

1

：

1

4

=32：1
设地球的同步卫星的周期为T₁=24小时，轨道半径为r₁=7R₁，密度ρ₁．
某行星的同步卫星周期为T₂，轨道半径为r₂=3.5R₂，密度ρ₂．
由万有引力提供向心力的周期表达式G

Mm

r2

=mr

4π2

T2

，解得：
G

ρ1 4πR13 3 m

r12

=mr1

4π2

T12

G

ρ2 4πR23 3 m

r22

=mr2

4π2

T22

带入数值化简得到：
T2=

T1

2

=12小时．
故答案为：32；12．

点评：向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
要比较一个物理量大小，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行比较，整体难度较大．