Question

如图所示是一个同学所设计的一个实验装置；一个内壁光滑的矩形框架竖直固定在水平地面上，一个质量为M=0.48kg、半径为R=0.5m的金属光滑圆环竖直放在框架内，圆环左右刚好和框架两壁相接触．一个质量为m=0.1kg的光滑金属小球放在圆环内的底部．在圆环底部突然敲击一下小球，使小球突然获得一个水平的初速度，小球便在圆环内运动．该同学通过实验总结出：小球初速度存在一个范围，在此范围内，小球既能够在圆环内做完整的圆周运动，且小球运动到圆环的最高点时，圆环还不能离开框架底部．重力加速度为g=10m/s²．请你帮助该同学求出小球初速度的这一范围．

Answer 1

分析：当小球的初速度最小值时，小球到最高点对圆环没有压力，根据向心力与机械能守恒定律求出初速度最小值．
小球的初速度为最大值时，小球到最高点，圆环对框架恰好没有压力，根据向心力与机械能守恒定律求出初速度最大值．

解答：解：（1）当小球的初速度最小值为v₁时，设小球到最高点的速度为v，此时小球在最高点时对圆环没有压力，有：
对小球：最低点到最高点有

1

2

mv

2 1

=

1

2

mv2+2mgR
在最高点：mg=

mv2

R

解得：v₁=

5gR

=5m/s
（2）当小球的初速度为最大值v₂时，设小球到最高点的速度为v′，此时小球在最高点时，圆环对框架恰好没有压力，
设此时圆环对小球的压力为F，
对小球：最低点到最高点有

1

2

mv

2 2

=

1

2

mv′2+2mgR
在最高点：F+mg=

mv′2

R

对圆环有：F=Mg
解得：v₂=7m/s
所以小球的初速度范围为：5m/s≤v₀≤7m/s．
答：小球初速度的范围是5m/s≤v₀≤7m/s．

点评：本题考查向心力与机械能守恒定律结合分析问题的能力．对于小球在光滑圆轨道内侧运动到最高点的临界速度与细绳拴的小球模型相同为

gR

．