Question

（2012?石家庄一模）如图所示，M、N为加速电场的两极板，M板中心有一小孔Q，其正上方有一半径为R₁=1m的圆形磁场区域，圆心为0，另有一内半径为R₁，外半径为R2=

3

m的同心环形磁场区域，区域边界与M板相切于Q点，磁感应强度大小均为B=0.5T，方向相反，均垂直于纸面．一比荷

q

m

=4×107C/kg带正电粒子从N板的P点由静止释放，经加速后通过小孔Q，垂直进入环形磁场区域．已知点P、Q、O在同一竖直线上，不计粒子的重力，且不考虑粒子的相对论效应．
（1）若加速电压U1=1.25×106V，求粒子刚进入环形磁场时的速率v₀
（2）要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电压U₂应满足什么条件？
（3）在某加速电压下粒子进入圆形磁场区域，恰能水平通过圆心O，之后返回到出发点P，求粒子从Q孔进人磁场到第一次回到Q点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）根据动能定理列式求解即可；
（2）画出粒子恰好不进入中间磁场区的临界轨迹，先根据几何关系求出半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列方程，再根据动能定理对直线加速过程列方程，最后联立方程组求解即可；
（3）画出运动轨迹并结合对称性，得到轨迹对应的圆心角，然后求解出时间．

解答：解：（1）粒子在匀强电场中，由动能定理得：
qU1=

1

2

m

v

2 0

…①
解得：v0=1×107m/s…②
（2）粒子刚好不进入中间圆形磁场的轨迹如图所示，

设此时粒子在磁场中运动的旋转半径为r₁，在Rt△QOO₁中有：

r

2 1

+

R

2 2

=(r1+R1)2…③
解得r₁=1m…④
洛伦兹力提供向心力，有Bqv=m

v2

r1

…⑤
解得r1=

mv

Bq

又由动能定理得：qU2=

1

2

mv2…⑥
联立④⑤⑥得：U2=

B2 r 2 1 q

2m

=5×106V…⑦
所以加速电压U₂满足条件是：U₂＞5×10⁶V…⑧
（3）粒子的运动轨迹如图所示

由于 O、O₃、Q共线且竖直，又由于粒子在两磁场中的半径相同为r₂，有
O₂O₃=2O₂Q=2r₂
由几何关系得∠QO₂O₃=60⁰
故粒子从Q孔进入磁场到第一次回到Q点所用的时间为
t=2 （

1

6

T+

5

12

T ）=

7

6

T…⑨
又T=

2πm

Bq

…⑩
由⑨⑩得t≈3.66×10^-7s
答：（1）粒子刚进入环形磁场时的速率为v0=1×107m/s；
（2）要使粒子能进入中间的圆形磁场区域，加速电压U₂应满足条件：U₂＞5×10⁶V；
（3）粒子从Q孔进人磁场到第一次回到Q点所用的时间约为3.66×10^-7s．

点评：本题关键分析清楚带电粒子的运动情况，明确粒子各个阶段的运动规律，然后结合动能定理、牛顿第二定律等规律列式求解．