Question

6．质量为M的火车，以恒定的速率在水平面内沿一段半径为r的圆弧轨道转弯，已知路面的倾角为α试求：
（1）速度V₀为多大时，车轮对铁轨的侧压力正好为零？
（2）若火车速度提高2V₀时，车轮对铁轨的侧压力为多少？
（3）若火车的速度减小为$\frac{{V}_{0}}{2}$时，车轮对铁轨的侧压力为多少？

Answer 1

分析 分析火车转弯时受力情况，内、外轨道均不受侧压力作用，恰好由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得出转弯半径r与速度v的关系．由牛顿第二定律分析火车速度变化时哪侧轨道受到侧压力．

解答 解：（1）由题，内、外轨道均不受侧压力作用，则转弯时火车受力情况如图，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{grtanθ}$．
（2）若火车速度提高2v₀时，重力和支持力的合力不够提供向心力，对外轨有侧压力，根据牛顿第二定律得：
F+mgtanθ=$m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
解得：F=3mgtanθ．
（3）若火车的速度减小为$\frac{{v}_{0}}{2}$时，重力和支持力的合力大于向心力，对内轨有侧压力，根据牛顿第二定律得：
$mgtanθ-F′=m\frac{（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}}{r}$，
解得：$F′=\frac{3mg}{4}tanθ$．
答：（1）速度V₀为$\sqrt{grtanθ}$时，车轮对铁轨的侧压力正好为零．
（2）若火车速度提高2V₀时，车轮对铁轨的侧压力为3mgtanθ．
（3）若火车的速度减小为$\frac{{V}_{0}}{2}$时，车轮对铁轨的侧压力为$\frac{3mg}{4}tanθ$．

点评 本题运用牛顿第二定律分析生活实际中的圆周运动问题，根据圆周运动的向心力来源于指向圆心的合力进行分析．