Question

一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k．设地球的半径为R．假定地球的密度均匀．已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d．

Answer 1

分析：利用单摆周期公式和万有引力近似等于其重力，矿井内单摆受到的万有引力可以看作是半径为（R-d）的球体施加的，即可联立求解．

解答：解：在地面处，单摆所受万有引力近似等于其重力，即mg=G

Mm

R

，
单摆的在地面的摆动周期T=2π

L g

设地球密度为ρ，地球的体积M=ρ

4

3

πR3
综合以上四得得：T=π

3L GρπR

质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，矿井内单摆受到的万有引力可以看作是半径为（R-d）的球体施加的，同理单摆的摆动周期T′=π

3L Gρπ(R-d)

而单摆在地面处的摆动周期与矿井底部摆动周期之比

T

T′

=K
解得：d=R（1-K²）
答；矿井的深度为R（1-K²）

点评：本题考查万有引力定律的应用及单摆的周期公式，意在考查对基本物理规律的分析计算能力．