Question

10．如图所示，光滑轨道固定在竖直平面内，其中BCD为细管，AB只有内轨道，AB段和BC段均为半径为R的四分之一圆弧．一小球从距离水平地面高为H（未知）的管口D处静止释放，最后恰能够到达A点，并水平抛出落到地面上．求：
（1）小球到达A点速度v_A；
（2）D点到A点的竖直高度．
（3）小球平抛落到地面的速度．

Answer 1

分析 （1）小球恰能够到达A点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求解v_A；
（2）从D到A运动过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律求出D点到A点的竖直高度；
（3）对整个过程，运用机械能守恒定律求小球平抛落到地面的速度．

解答 解：（1）小球恰能够到达A点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得小球到达A点速度为：v_A=$\sqrt{gR}$．
（2）设D点到A点的竖直高度为h．从D到A运动过程中只有重力做功，小球的机械能守恒，根据机械能守恒定律，则得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：h=0.5R
（3）设小球平抛落到地面的速度大小为v．由上可得：
H=2R+0.5R=2.5R
对整个过程，运用机械能守恒定律得：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{5gR}$
答：（1）小球到达A点速度v_A是$\sqrt{gR}$
（2）D点到A点的竖直高度是0.5R．
（3）小球平抛落到地面的速度是$\sqrt{5gR}$．

点评 本题的关键要知道轨道光滑时，往往运用机械能守恒定律求速度，要掌握圆周运动达到最高点的临界条件：重力等于向心力．