Question

如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，磁场的宽度为L．一质量为m、带电量为q、速率为V₀的正粒子从边界a垂直于磁场方向射入，入射方向与边界a的夹角为θ，求粒子再次从磁场里射出所经历的时间．

Answer 1

分析：本题的关键是应讨论粒子到底是从边界b射出还是从边界a射出，若从b射出，根据对称性可知，粒子轨迹应与b相切，画出轨迹图，根据几何知识求出半径和对应的圆心角即可；若是从边界a射出，则又存在两种情况，分别画出轨迹图，然后根据几何知识求出边界与圆心角即可．

解答：解：从题设条件无法判定粒子从a和b哪个边界射出，应讨论如下：
（1）若带电粒子从边界a射出，轨迹恰好与边界b相切时粒子轨迹如图所示：
由几何知识可得：L=R+Rcosθ…①
又Bvq=

mv 2 0

R

…②
解得R=

mv   0

qB

，L=

mv   0

qB

（1+coθ），可见若L≥

mv   0

qB

(1+cosθ)时，粒子将从a边界射出，由图可知粒子轨迹对应的圆心角为（2π-2θ），
所以粒子所用时间为：t=

(2π-2θ)

2π

?T=

2(π-θ)m

qB

（2）若粒子从边界b射出，当L＜

mv   0

qB

(1+cosθ)时，粒子将从边界b射出，又存在两种情况，
①轨迹如图所示：

由图可知：L=Rsinα+Rsinβ=R（sinα+sinβ），其中α=

π

2

-θ，解得β=arc（

L-Rosθ

R

）
轨迹圆弧对应的圆心角为φ=α+β=

π

2

-θ+β
所以射出经历的时间为t=

( π 2 -θ+β)

2π

?T=

( π 2 -θ+β)m

qB

②如图所示：

由几何关系可知L=Rsinα-Rsinβ=Rcoθ-Rsinβ=R（cosθ-sinβ）
解得β=arcsin(

Rcosθ-L

R

)
所以圆心角为φα-β=

π

2

-θ-β
所经历的时间为t=

( π 2 -θ-β)

qB

答：粒子再次从磁场里射出经历的时间可能为间为：t=

2(π-θ)m

qB

或t=

( π 2 -θ+β)m

qB

或t=

( π 2 -θ-β)

qB

点评：处理有关带电粒子在有界磁场中运动的问题一般思路是：根据题意画出各种可能的轨迹图，利用几何知识找到圆心并求出半径和圆心角即可求解．