Question

如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道ABC，其半径为R，A端与圆心O等高，B为轨道最低点，C为轨道最高点．AE为水平面，一小球从A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达C点．求：
（1）落点D与O点的水平距离S；
（2）释放点距A点的竖直高度h；
（3）若小球释放点距离A点的高度为H，假设轨道半径R可以改变，当R取多少时，落点D与圆心O之间的距离最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）小球恰能到达C点，知小球到达C点时对轨道的压力为0，重力提供向心力，mg=m

v2

R

求出C点的速度，小球离开C点做平抛运动，高度决定时间，根据时间和C点的速度求出水平距离．
（2）从释放点到C点运用动能定理，根据动能定理求出释放点距离A点的高度．
（3）求出当半径为R时，通过C点的速度和平抛运动的时间，然后求出水平位移，根据二次函数求极值的方法，求出落点D与圆心O之间的距离最大时R的值．

解答：解：（1）在C点有：mg=m

vc2

R

．
vc=

gR

根据R=

1

2

gt2得，t=

2R g

s=vct=

gR

2R g

=

2

R
故落点D与O点的水平距离S为

2

R．
（2）从释放点到C点运用动能定理，有mg(h-R)=

1

2

mvc2-0
h=

3

2

R
故释放点距A点的竖直高度h为

3

2

R．
（3）根据动能定理得，mg(H-R)=

1

2

mvc′2-0
vc′=

2g(H-R)

平抛运动的时间t=

2R g

则平抛运动的水平位移x=vc′t=

2g(H-R)

2R g

=

4R(H-R)

=

-4(R- H 2 )2+H2

当R=

H

2

时，落点D与圆心O之间的距离最大，最大值为H．

点评：解决本题的关键知道球到达C点时对轨道的压力为0，有mg=m

v2

R

，以及能够熟练运用动能定理．