Question

9．物理中存在“通量”这个物理量，“通量”的定义要用到高等数学知识．在高中阶段，对“通量”的定义采用的是简单化处理方法并辅以形象化物理模型进行理解．
（1）“磁通量”就是一种常见的“通量”．在高中阶段我们是这样来定义“磁通量”的：设在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一个与磁场方向垂直的平面，面积为S，我们把B与S的乘积叫做穿过这个面积的磁通量（图1），简称磁通．用字母ϕ表示，则ϕ=BS．磁通量可以形象地理解为穿过某一面积的磁感线条数的多少．如图2所示，空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B．一个面积为S的矩形线圈与竖直面间的夹角为θ，试求穿过该矩形线圈的磁通量ϕ．

（2）“电通量”也是一种常见的“通量”．在定义“电通量”时只需要把“磁通量”中的磁感应强度B替换为电场强度E即可．请同学们充分运用类比的方法解决以下问题．已知静电力常量为k．

a．如图3所示，空间存在正点电荷Q，以点电荷为球心作半径为R的球面，试求通过该球面的电通量ϕ_E1．
b．上述情况映射的是静电场中“高斯定理”，“高斯定理”可以从库仑定律出发得到严格证明．“高斯定理”可表述为：通过静电场中任一闭合曲面的电通量等于闭合曲面内所含电荷量Q与4πk的乘积，即ϕ_E=4πkQ，其中k为静电力常量．试根据“高斯定理”证明：一个半径为R的均匀带电球体（或球壳）在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，球外各点的电场强度也是E=k$\frac{Q}{r^2}$（r＞R），式中r是球心到该点的距离，Q为整个球体所带的电荷量．

Answer 1

分析 （1）当线圈与磁场垂直，穿过线圈的磁通量等于磁感应强度与线圈面积的乘积．当它转过θ角时，线圈在磁场垂直方投影面积为Scosθ，磁通量等于磁感应强度与这个投影面积的乘积．
（2）a、根据点电荷的场强公式，求得球面上各处的电场强度大小；然后结合电通量的定义即可求出；
b、结合电通量的概念与库仑定律即可证明高斯定理．

解答 解答：（1）当面积为S的矩形线圈与竖直面间的夹角为θ时，线圈在磁场垂直方投影面积为Scosθ，磁通量：ϕ=B•S_⊥=BScosθ
（2）a．根据点电荷的场强公式，求得球面上各处的电场强度大小为：$E=k\frac{Q}{R^2}$，
由于球面上各处电场强度方向都与球面垂直，故通过球面的电通量为：${ϕ_{E_1}}=ES=k\frac{Q}{{{R^2}_{\;}}}•4π{R^2}=4πkQ$
b．证明：过距离球心距离r的点作一球面，根据对称性可知该球面上各点场强大小相等，方向处处球面垂直．设该点的电场强度为E，通过该球面的电通量为ϕ_E，则有：${ϕ_E}=ES=4π{r^2}E$
由高斯定理知：ϕ_E=4πkQ
所以有：4πr²E=4πkQ，
化简得：$E=k\frac{Q}{r^2}$，这就是球心处的点电荷Q在r处产生的场强，证明完毕．
答：（1）穿过该矩形线圈的磁通量ϕ为BScosθ；
（2）a、通过该球面的电通量为4πkQ；b、证明见前．

点评 本题（1）要知道对于匀强磁场中磁通量计算的一般公式Φ=BScosθ，θ是线圈与磁场垂直方向的夹角．夹角变化，磁通量也会变化．
（2）属于对磁通量的类别与知识迁移，解答的关键是理解题目的要求，将磁通量的概念与相关的方法迁移到对电通量的理解．