Question

11．如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图．首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h₁处悬停（速度为0，h₁远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h₂处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面．已知探测器总质量为m（不包括燃料），地球和月球的半径的比值为k₁，质量的比值为k₂，地球表面附近的重力加速度为g，求：
（1）月球表面附近的重力加速度大小；
（2）探测器刚接触月面时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根据星球表面重力等于万有引力求解重力加速度；
（2）由运动学的公式求解探测器刚接触月球时的速度大小；

解答 解：（1）设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月球表面时的速度大小为v₁；
由mg′=G$\frac{M′m}{R{′}_{\;}^{2}}$和mg=G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，
得：g′=$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}^{\;}}g$
（2）由匀变速直线运动的规律可知：
${v}_{1}^{2}-{v}_{\;}^{2}=2g′{h}_{2}^{\;}$
解得：v₁=$\sqrt{{v}_{\;}^{2}+\frac{2{k}_{1}^{2}gh}{{k}_{2}^{\;}}}$；
答：（1）月球表面附近的重力加速度g₁的大小是$\frac{{k}_{1}^{2}}{{k}_{2}^{\;}}g$；
（2）探测器刚接触月球时的速度v₁的大小是$\sqrt{{v}_{\;}^{2}+\frac{2{k}_{1}^{2}gh}{{k}_{2}^{\;}}}$．

点评 本题关键是明确探测器的受力情况和运动情况，然后根据运动学公式和万有引力定律列方程求解，不难．