Question

18．如图所示，甲、乙两个光滑的斜面固定在水平面上，底部通过一段很小的圆弧连接，质量分别为2m和m的小球A、B分别在甲、乙斜面上离地面为$\frac{3}{4}$h和h的高度由静止同时释放，结果两球在乙斜面上离地$\frac{1}{2}$h高度处相碰，碰撞时间极短，碰撞后两球粘在一起，求：
①碰撞后瞬间两球的速度大小．
②碰撞过程损失的机械能．

Answer 1

分析 ①由机械能守恒定律求出碰撞前甲、乙的速度，碰撞过程动量守恒，应用动量守恒定律求出碰撞后的速度．
②应用能量守恒定律可以求出碰撞过程损失的机械能．

解答 解：①小球下滑过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：
对甲：2mg（$\frac{3}{4}$h-$\frac{1}{2}$h）=$\frac{1}{2}$•2mv_甲²，解得：v_甲=$\sqrt{\frac{gh}{2}}$，
对乙：mg（h-$\frac{1}{2}$h）=$\frac{1}{2}$mv_乙²，解得：v_乙=$\sqrt{gh}$，
甲乙碰撞过程系统动量守恒，以甲的方向为正方向，
由动量守恒定律得：2mv_甲-mv_乙=（m+2m）v，
解得：v=$\frac{\sqrt{2gh}-\sqrt{gh}}{3}$；
②碰撞过程，由能量守恒定律可知，
损失的机械能：△E=$\frac{1}{2}$•2mv_甲²+$\frac{1}{2}$mv_乙²-$\frac{1}{2}$（2m+m）v²，
解得：△E=$\frac{3+2\sqrt{2}}{6}$mgh；
答：①碰撞后瞬间两球的速度大小为$\frac{\sqrt{2gh}-\sqrt{gh}}{3}$．
②碰撞过程损失的机械能为$\frac{3+2\sqrt{2}}{6}$mgh．

点评 本题考查了求速度与损失的机械能问题，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用机械能守恒定律、动量守恒定律与能量守恒定律可以解题．