Question

20．如图所示，一个边缘带有凹槽的金属圆环，沿其直径装有一根长2L的金属杆AC，可绕通过圆环中心的水平轴O转动．将一根质量不计的长绳一端固定于槽内并将绳绕于圆环槽内，绳子的另一端吊了一个质量为m的物体．圆环的一半处在磁感应强度为B，方向垂直环面向里的匀强磁场中．现将物体由静止释放，若金属圆环和金属杆单位长度的电阻均为R．忽略所有摩擦和空气阻力．
（1）设某一时刻圆环转动的角速度为ω₀，且OA边在磁场中，请求出此时电路中的电动势和通过金属杆OA中的感应电流的大小和方向；
（2）请求出物体在下落中达到的最大速度；
（3）当物体下落达到最大速度后，金属杆OC段进入磁场时，杆C、O两端电压多大？

Answer 1

分析 （1）已知金属杆转动的角速度，根据：E=$\overline{v}$BL求出金属杆切割测磁感线产生的感应电动势，根据欧姆定律求出电流的大小，由左手定则确定电流方向；
（2）根据欧姆定律求出金属杆中的电流，根据安培力的公式求得金属杆受到的安培力，最后求出物体下落的最大速度；
（3）根据串联电路的分压特点即可求出CO两端的电压．

解答 解：（1）已知金属杆转动的角速度，OA产生的电动势：$E=BL•\frac{L{ω}_{0}}{2}=\frac{1}{2}B{L}^{2}{ω}_{0}$
等效电路如图所示：

由题题意知，${R}_{外1}=\frac{πLR}{2}$
R_外2=LR
内阻r=LR
所以电路总电阻R_总=R_外1+R_外2+r=$（2+\frac{π}{2}）LR$
根据欧姆定律有，电路中的总电流I=$\frac{E}{{R}_{总}}=\frac{{B}^{2}L{ω}_{0}}{（π+4）R}$，方向由O指向A．
（2）当物体m达到最大速度时，重物的重力的功率等于电路中消耗的电功率：
$mgv=\frac{{E}^{2}}{{R}_{总}}$
其中$E=B{L}^{2}\frac{ω}{2}=\frac{BLv}{2}$
由此解得物体的速度v=$\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$
（3）当物体下落达到最大速度后，杆受到的安培力的力矩与物体的力矩相等，得：$BIL•\frac{L}{2}=mgL$
所以OA上的电流大小为：$I=\frac{2mg}{BL}$
当OC段在磁场中时，
${U}_{CD}=\frac{2mg}{BL}（\frac{πLR}{2}+LR）=\frac{2mgR}{B}（\frac{π}{2}+1）$
答：（1）设某一时刻圆环转动的角速度为ω₀，且OA边在磁场中，此时电路中的电动势和通过金属杆OA中的感应电流的大小为$\frac{{B}^{2}L{ω}_{0}}{（π+4）R}$，方向由O指向A；
（2）物体在下落中达到的最大速度为$\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$；
（3）当物体下落达到最大速度后，金属杆OC段进入磁场时，杆C、O两端电压为$\frac{2mgR}{B}（\frac{π}{2}+1）$．

点评 本题考查了求安培力的功率、产生的内能，求出感应电动势、安培力、应用能量守恒定律即可正确解题．